步步高高中数学 必修 1 新高一暑假 函数 学生版.docx

PAGE PAGE 1 函数及其表示 1.2.1　函数的概念 学习目标　1.理解函数的概念.2.了解构成函数的三要素.3.能正确使用函数、区间符号. 知识点一　函数的概念 思考　初中时用运动变化的观点定义函数，用这种观点能否判断只有一个点(0,1)，算不算是函数图象？ 答案　因为只有一个点，用运动变化的观点判断就显得牵强，因此有必要引入用集合和对应来定义的函数概念. 梳理　函数的概念： 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，值域是集合B的子集. 特别提醒：对于函数的定义，需注意以下几点： ①集合A，B都是非空数集；②集合A中元素的无剩余性；③集合B中元素的可剩余性，即集合B不一定是函数的值域，函数的值域一定是B的子集. 知识点二　函数相等 思考　函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？ 答案　两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系“平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数. 梳理　一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等. 特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同. 知识点三　区间 (1)区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|axb} 开区间 (a，b) {x|a≤xb} 半闭半开区间 [a，b) {x|ax≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|xa} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|xa} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 取遍数轴上所有的值 (2)注意：①“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号. ②区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大. 类型一　函数关系的判断 命题角度1　给出三要素判断是否为函数 例1　判断下列对应是否为集合A到集合B的函数. (1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|； (2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2； (3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq \r(x)； (4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0. 跟踪训练1　下列对应是从集合A到集合B的函数的是(　　) A.A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→eq \f(1,|x|) B.A＝N，B＝N*，f：x→|x－1| C.A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2 D.A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f：x→eq \r(x) 命题角度2　给出图形判断是否为函数图象 例2　下列图形中不是函数图象的是(　　) 跟踪训练2　若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 类型二　已知函数的解析式，求其定义域 例3　求下列函数的定义域. (1)y＝3－eq \f(1,2)x； (2)y＝2eq \r(x)－eq \r(1－7x)； (3)y＝eq \f(?x＋1?0,\r(x＋2))； (4)y＝eq \r(2x＋3)－eq \f(1,\r(2－x))＋eq \f(1,x). 跟踪训练3　函数f(x)＝eq \f(\r(x),x－1)的定义域为________. 类型三　函数相等 例4　下列函数中哪个与函数y＝x相等？ (1)y＝(eq \r(x))2；(2)y＝eq \r(3,x3)；(3)y＝eq \r(x2)；(4)y＝eq \f(x2,x). 跟踪训练4　下列各组中的两个函数是否为相等的函数？ (1)y1＝eq \f(?x＋3??x－5?,x＋3)，y2＝x－5； (2)y1＝eq \r(x＋1)eq \r(x－1)，y2＝eq \r(?x＋1??x－1?). 类型四　对于f(x)，f(a)的理解 例5　(1)已知函数f(x)＝eq \r(x＋2)，若f(a)＝4，则实数a＝________. (2)已知f(x)＝eq \f(1,1＋x)(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2 (x∈R). ①求f(2)，g(2)的值； ②求f(g(2))的值； ③求f(a＋1)，g(a－1). 跟踪训练5　已知f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)(x≠－1). (1)求f(0)及f(f(eq \f(1,2)))