步步高高中数学 必修 5 第二章 2.2（一）.docxVIP

PAGE PAGE 1 学习目标　1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用． 知识点一　等差数列的概念 思考　给出以下三个数列： (1)0,5,10,15,20； (2)4,4,4,4，…； (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. 它们有什么共同的特征？ 答案　从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数． 梳理　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零． 知识点二　等差中项的概念 思考　观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)a，b；(4)0,0. 答案　插入的数分别为3,2，eq \f(a＋b,2)，0. 梳理　如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项，且A＝eq \f(a＋b,2). 知识点三　等差数列的通项公式 思考　对于等差数列2,4,6,8，…，有a2－a1＝2，即a2＝a1＋2；a3－a2＝2，即a3＝a2＋2＝a1＋2×2；a4－a3＝2，即a4＝a3＋2＝a1＋3×2. 试猜想an＝a1＋(　　)×2. 答案　n－1 梳理　若一个等差数列{an}，首项是a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.此公式可用累加法证明． 类型一　等差数列的概念 例1　判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n－13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a，a，a，a，a，…. 解　由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列． 反思与感悟　判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项差是否为同一个常数，但数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n≥1，n∈N*)是不是一个与n无关的常数． 跟踪训练1　数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列(　　) A．是公差为2的等差数列 B．是公差为5的等差数列 C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列 答案　A 解析　∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2， ∴{an}是公差为2的等差数列． 类型二　等差中项 例2　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列． 解　∵－1，a，b，c,7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项， ∴b＝eq \f(－1＋7,2)＝3. 又a是－1与3的等差中项，∴a＝eq \f(－1＋3,2)＝1. 又c是3与7的等差中项，∴c＝eq \f(3＋7,2)＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7. 反思与感悟　在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即an＝eq \f(an＋1＋an－1,2)，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项． 跟踪训练2　若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项． 解　由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8. 又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10. 两式相加，得m＋n＝6. 所以m和n的等差中项为eq \f(m＋n,2)＝3. 类型三　等差数列通项公式的求法及应用 命题角度1　基本量(a，d) 例3　在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an. 解　由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋5d＝12，,a1＋17d＝36.)) 解得d＝2，a1＝2. ∴an＝2＋(n－1)×2＝2n. 反思与感悟　像本例中根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想． 跟踪训练3　(1)求等差数列8,5,2，…的第20项； (2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？ 解　(1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3， 由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49. (2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1. 由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100， 即－401是这个数列的第100项． 命题角度2　等差数列的实际应用 例4　某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租