步步高高中数学 必修 5 第二章 章末复习课.docxVIP

PAGE PAGE 1 学习目标　1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.提高解决等差数列、等比数列问题的能力，培养综合运用知识解决问题的能力． 知识点一　梳理本章的知识网络 知识点二　对比归纳等差数列和等比数列的基本概念和公式 等差数列 等比数列 定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 递推公式 an＋1－an＝d eq \f(an＋1,an)＝q 中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时A叫做a与b的等差中项，并且A＝eq \f(a＋b,2) 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝±eq \r(ab) 通项公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1 前n项和公式 Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d q≠1时，Sn＝eq \f(a1?1－qn?,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q)，q＝1时，Sn＝na1 性质 am，an的关系 am－an＝(m－n)d eq \f(am,an)＝qm－n m，n，s，t∈N*，m＋n＝s＋t am＋an＝as＋at aman＝asat {kn}是等差数列，且kn∈N* 是等差数列 是等比数列 n＝2k－1，k∈N* S2k－1＝(2k－1)·ak a1a2·…·a2k－1＝aeq \o\al(2k－1,k) 判断方法 利用定义 an＋1－an是同一常数 eq \f(an＋1,an)是同一常数 利用中项 an＋an＋2＝2an＋1 anan＋2＝aeq \o\al(2,n＋1) 利用通项公式 an＝pn＋q，其中p、q为常数 an＝abn(a≠0，b≠0) 利用前n项和公式 Sn＝an2＋bn (a，b为常数) Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1或Sn＝np(p为非零常数) 知识点三　本章公式推导和解题过程中用到的基本方法和思想 1．在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了累加法和累乘法； 2．在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了倒序相加法和错位相减法． 3．等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意三个求其余两个，用到了方程思想． 4．在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了函数思想． 类型一　方程思想求解数列问题 例1　设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列． (1)求数列{an}的通项； (2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＝7，,\f(?a1＋3?＋?a3＋4?,2)＝3a2，))解得a2＝2. 设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝eq \f(2,q)，a3＝2q， 又S3＝7，可知eq \f(2,q)＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0. 解得q1＝2，q2＝eq \f(1,2).由题意得q＞1，∴q＝2，∴a1＝1. 故数列{an}的通项为an＝2n－1. (2)由于bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…， 由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln 23n＝3nln 2. 又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差数列， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq \f(n?b1＋bn?,2)＝eq \f(3n?n＋1?,2)·ln 2. 故Tn＝eq \f(3n?n＋1?,2)ln 2. 反思与感悟　在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量． 跟踪训练1　记等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn. 解　设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公差为d， 依题设有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a1?a3＋1?＝a\o\al(2,2)，,a1＋a2＋a3＝12，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (