步步高高中数学 必修 5 第三章 3.4（一）.docxVIP

PAGE PAGE 1 学习目标　1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式． 知识点一　算术平均数与几何平均数 思考　如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？ 答案　|PO|＝eq \f(|AB|,2)＝eq \f(a＋b,2).易证Rt△APQ∽Rt△PBQ，那么|PQ|2＝|AQ|·|QB|，即|PQ|＝eq \r(ab). 梳理　一般地，对于正数a，b，eq \f(a＋b,2)为a，b的算术平均数，eq \r(ab)为a，b的几何平均数．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2).其几何意义如上图中的|PO|≥|PQ|. 知识点二　基本不等式及其常见推论 思考　如何证明不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a0，b0)? 答案　∵a＋b－2eq \r(ab)＝(eq \r(a))2＋(eq \r(b))2－2eq \r(a)·eq \r(b)＝(eq \r(a)－eq \r(b))2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立， ∴a＋b≥2eq \r(ab)， ∴eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)， 当且仅当a＝b时，等号成立． 梳理　eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a0，b0)．当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论： (1)ab≤(eq \f(a＋b,2))2≤eq \f(a2＋b2,2)(a，b∈R)； (2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)； (3)当ab0时，eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2； (4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． 类型一　常见推论的证明 例1　证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． 证明　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0， ∴a2＋b2≥2ab. 引申探究 证明不等式(eq \f(a＋b,2))2≤eq \f(a2＋b2,2)(a，b∈R)． 证明　由例1，得a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab， 两边同除以4，即得(eq \f(a＋b,2))2≤eq \f(a2＋b2,2)，当且仅当a＝b时，取等号． 反思与感悟　(1)本例证明的不等式成立的条件是a，b∈R，与基本不等式不同． (2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法． 跟踪训练1　已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 证明　∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca， ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)， 即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 类型二　用基本不等式证明不等式 例2　已知x、y都是正数． 求证：(1)eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥2； (2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. （3）已知为正常数，，，求证：（权方和不等式） 证明　(1)∵x，y都是正数， ∴eq \f(x,y)0，eq \f(y,x)0， ∴eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥2eq \r(\f(y,x)·\f(x,y))＝2，即eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥2， 当且仅当x＝y时，等号成立． (2)∵x，y都是正数， ∴x＋y≥2eq \r(xy)0， x2＋y2≥2eq \r(x2y2)0，x3＋y3≥2eq \r(x3y3)0. ∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3) ≥2eq \r(xy)·2eq \r(x2y2)·2eq \r(x3y3)＝8x3y3， 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3， 当且仅当x＝y时，等号成立． （3）由于，，，均为正实数， 而， 所以．当且仅当，即时等号成立． 反思与感悟　利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 跟踪训练2　已知a、b、c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc. 证明　∵a，b，c都是正实数， ∴a＋b≥2eq \r(ab)0，b＋c≥2eq \r(bc)0，c＋a≥2eq \r(ca