步步高高中数学 必修 5 第一章 1.2（二）.docxVIP

PAGE PAGE 1 学习目标　1.会运用测仰角(或俯角)解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.2.会用测方位角解决立体几何中求高度问题.3.进一步培养学习数学、应用数学的意识． 知识点一　测量仰角(或俯角)求高度问题 思考　如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，如果能测出点C，D间的距离m和由C点，D点观察A的仰角，怎样求建筑物高度AB？(已知测角仪器的高是h) 答案　解题思路是：在△ACD中，eq \f(AC,sin β)＝eq \f(m,sin?α－β?.) 所以AC＝eq \f(msin β,sin?α－β?)， 在Rt△AEC中，AE＝ACsin α，AB＝AE＋h. 梳理　问题的本质如图，已知∠AEC为直角，CD＝m，用α、β、m表示AE的长，所得结果再加上h. 知识点二　测量方位角求高度 思考　如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，怎样求此山的高度CD? 答案　先在△ABC中，用正弦定理求BC＝eq \f(5sin 15°,sin 10°)，再在Rt△DBC中求DC＝BCtan 8°. 梳理　问题本质是：如图，已知三棱锥 D－ABC，DC⊥平面ABC，AB＝m，用α、β、m、γ表示DC的长． 类型一　测量仰角(或俯角)求高度问题 命题角度1　仰角 例1　如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于(　　) A．10 m B．5eq \r(3) m C．5(eq \r(3)－1) m D．5(eq \r(3)＋1) m 答案　D 解析　方法一　设AB＝x m，则BC＝x m. ∴BD＝(10＋x)m.∴tan∠ADB＝eq \f(AB,DB)＝eq \f(x,10＋x)＝eq \f(\r(3),3). 解得x＝5(eq \r(3)＋1)m. 所以A点离地面的高AB等于5(eq \r(3)＋1)m. 方法二　∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°， ∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°. 由正弦定理，得AC＝eq \f(CD,sin ∠CAD)·sin ∠ADC ＝eq \f(10,sin 15°)·sin 30°＝eq \f(20,\r(6)－\r(2)) . ∴AB＝ACsin 45°＝5(eq \r(3)＋1)m. 反思与感悟　(1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形． (2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进． 跟踪训练1　某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为________ m．(精确到1 m) 答案　811 解析　如图，过点D作DE∥AC交BC于E， 因为∠DAC＝20°， 所以∠ADE＝160°， 于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°. 又∠BAD＝35°－20°＝15°， 所以∠ABD＝30°. 在△ABD中，由正弦定理， 得AB＝eq \f(ADsin∠ADB,sin∠ABD)＝eq \f(1 000×sin 135°,sin 30°)＝1 000eq \r(2)(m)． 在Rt△ABC中，BC＝ABsin 35°≈811(m)． 所以山的高度约为811 m. 命题角度2　俯角 例2　如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD.(精确到1 m) 解　在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α. 根据正弦定理，eq \f(BC,sin?α－β?)＝eq \f(AB,sin?90°＋β?)， 所以AB＝eq \f(BCsin?90°＋β?,sin?α－β?)＝eq \f(BCcos β,sin?α－β?). 解Rt△ABD， 得BD＝ABsin∠BAD＝eq \f(BCcos βsin α,sin?α－β?). 将测量数据代入上式，得 BD＝eq \f(27.3cos 50°1′sin 54°40′,sin?54°40′－50°1′?) ＝eq \f(27.3cos 50°1′sin 54°40′,sin 4°39′)≈176.5(m)． CD＝BD－BC≈176.5－27.3≈149(m)． 答　山的高度约为149 m. 反思与感悟　利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所