步步高高中数学 必修 5 第一章 章末复习课.docxVIP

PAGE PAGE 1 学习目标　1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.能灵活、熟练运用正弦、余弦定理解三角形． 3．能解决三角形与三角变换的综合问题及实际问题. 知识点一　正弦定理及其推论 设△ABC的外接圆半径为R，则 (1)eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R. (2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C. (3)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R). (4)在△ABC中，AB?ab?sin_Asin_B. 知识点二　余弦定理及其推论 1．a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝ c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C. 2．cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；cos B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ca)；cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab). 3．在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为直角；c2a2＋b2?C为钝角；c2a2＋b2?C为锐角． 知识点三　三角形面积公式 1．S＝eq \f(1,2)aha＝eq \f(1,2)bhb＝eq \f(1,2)chc； 2．S＝eq \f(1,2)absin C ＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)casin B. 类型一　利用正弦、余弦定理解三角形 例1　如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2eq \r(3)，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度． 解　在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2eq \r(3)， 由余弦定理，得cos C＝eq \f(BC2＋AC2－AB2,2BC×AC)＝eq \f(\r(3),2)， ∴sin C＝eq \f(1,2). 在△ADC中，由正弦定理， 得eq \f(AD,sin C)＝eq \f(AC,sin∠ADC)， ∴AD＝eq \f(2,\f(\r(2),2))×eq \f(1,2)＝eq \r(2). 反思与感悟　解三角形的一般方法： (1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a、b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角． (3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况． (4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C. 跟踪训练1　如图，在△ABC中，∠B＝eq \f(π,3)，AB＝8，点D在BC边上，CD＝2，cos∠ADC＝eq \f(1,7). (1)求sin∠BAD； (2)求BD，AC的长． 解　(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝eq \f(1,7)， 所以sin∠ADC＝eq \f(4\r(3),7). 所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B) ＝sin∠ADCcos B－cos∠ADCsin B ＝eq \f(4\r(3),7)×eq \f(1,2)－eq \f(1,7)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),14). (2)在△ABD中，由正弦定理，得 BD＝eq \f(ABsin∠BAD,sin∠ADB)＝eq \f(8×\f(3\r(3),14),\f(4\r(3),7))＝3. 在△ABC中，由余弦定理，得 AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B ＝82＋52－2×8×5×eq \f(1,2)＝49， 所以AC＝7. 类型二　三角变换与解三角形的综合问题 命题角度1　三角形形状的判断 例2　在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)· sin(A＋B)，试判断△ABC的形状． 解　∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)， ∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)] ＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]， ∴2b2sin Acos B＝2a2cos Asin B， 即a2cos Asin B＝b2sin Acos B. 方法一　由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， ∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B， 又sin Asin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B. 在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π， ∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝eq \f(π,2). ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．