步步高高中数学 必修 5 疑难规律 第一章.docxVIP

PAGE PAGE 1 1　正弦定理的几种证明方法 正弦定理是解决斜三角形问题及其应用问题(测量)的重要定理，而证明它们的方法很多，展开的思维空间很大，研究它们的证明，有利于培养探索精神，思维的深度广度和灵活度． 正弦定理的内容： eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C). 1．向量法 证明：在△ABC中做单位向量i⊥eq \o(AC,\s\up6(→))，则 i·eq \o(AB,\s\up6(→))＝i·(eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(CB,\s\up6(→)))， |i||eq \o(AB,\s\up6(→))|sin A＝|i||eq \o(CB,\s\up6(→))|sin C， 故eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)， 同理可证：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B). 即正弦定理可证：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C). 2．高线法 证明：在△ABC中做高线CD，则在Rt△ADC和Rt△BDC中， CD＝b sin A， CD＝a sin B， 即b sin A＝a sin B， eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)， 同理可证：eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)， 即正弦定理可证． 3．外接圆法 证明：做△ABC的外接圆O，过点C连接圆心与圆交于点D，连接AD，设圆的半径为R， ∴△CAD为Rt△，且b＝2Rsin D，且D＝B， ∴b＝2Rsin B，即eq \f(b,sin B)＝2R. 同理：eq \f(a,sin A)＝2R，eq \f(c,sin C)＝2R， ∴eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C). 4．面积法 ∵S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B， ∴正弦定理可证：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C). 2　正弦定理的一个推论及应用 在初学正弦定理时，若问同学们这样一个问题：在△ABC中，若sin Asin B，则A与B的大小关系怎样？那么几乎所有的同学都会认为A与B的大小关系不确定．若再问：在△ABC中，若AB，则sin A与sin B的大小关系怎样？仍然会有很多同学回答大小关系不确定．鉴于此，下面我们讲讲这个问题． 一、结论 例1　在△ABC中，sin Asin B?AB. 分析　题中条件简单，不易入手．但既在三角形中，何不尝试用联系边角的正弦定理？ 证明　因为sin Asin B?2Rsin A2Rsin B(其中R为△ABC外接圆的半径)， 根据正弦定理变式a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(其中a，b分别为A，B的对边)，可得sin Asin B?ab， 再由平面几何定理“大角对大边，小角对小边”， 可得ab?AB.所以sin Asin B?AB. 二、结论的应用 例2　在△ABC中，A＝45°，a＝4，b＝2eq \r(2)，求B. 分析　在遇到这样的问题时，有的同学一看，这不正好用正弦定理吗，于是就直接由正弦定理得B＝30°或B＝150°.其实这是错误的！错在哪儿？我们只需由上述结论即可发现． 解　由正弦定理得eq \f(sin 45°,4)＝eq \f(sin B,2\r(2))，sin B＝eq \f(1,2)， 又sin Bsin A，所以BA，所以B＝30°. 点评　同学们在解题时，一定要根据问题的具体情况，恰当地选用定理．同时，使用正弦定理求角时，要特别小心，不要出现漏解或增解的情况． 例3　在△ABC中，已知B＝30°，b＝3，c＝3eq \r(3)，求A. 分析　同学们在求解这个问题的时候，在用正弦定理求角C时不要丢解． 解　由正弦定理及已知条件，得 sin C＝eq \f(csin B,b)＝eq \f(\r(3),2)， 因为sin Csin B， 所以CB，所以C有两解． (1)当C＝60°时，有A＝90°； (2)当C＝120°时，有A＝30°. 点评　除此之外，本题也可以利用余弦定理来求解. 3　三角形定“形”记 根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题．解答此类问题，一般需先运用正弦、余弦定理转化已知的边角关系，再进一步判断三角形的形状，这种转化一般有两个通道，即化角为边或化边为角．下面例析这两个通道的应用． 1．通过角之间的关系定“形” 例1　在△ABC中，已知2sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是(　　) A．直角三角形 B．等