步步高高中数学 必修 5 正余弦定理打印版.docx

PAGE PAGE 1 1.　正弦定理（一） 学习目标　1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题． 知识点一　正弦定理的推导 思考1　如图，在Rt△ABC中，eq \f(a,sin A)、eq \f(b,sin B)、eq \f(c,sin C)各自等于什么？ 答案　eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝c. 思考2　在一般的△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)还成立吗？课本是如何说明的？ 答案　在一般的△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)仍然成立，课本采用边AB上的高CD＝bsin A＝asin B来证明． 梳理　任意△ABC中，都有eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，证明方法除课本提供的方法外，还可借助三角形面积公式，外接圆或向量来证明． 知识点二　正弦定理的呈现形式 1.eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)； 2．a＝eq \f(bsin A,sin B)＝eq \f(csin A,sin C)＝2Rsin A； 3．sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R). 知识点三　解三角形 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 类型一　定理证明 例1　在钝角△ABC中，证明正弦定理． 证明　如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点， 根据正弦函数的定义知： eq \f(CD,b)＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sin A，eq \f(CD,a)＝sin B. ∴CD＝bsin A＝asin B．∴eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B). 同理，eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C).故eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C). 反思与感悟　(1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固． (2)要证eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，只需证asin B＝bsin A，而asin B，bsin A都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力． 跟踪训练1　如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明eq \f(a,sin A)＝2R. 证明　连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C， 则圆周角∠A′＝∠A. ∵A′B为直径，长度为2R， ∴∠A′CB＝90°， ∴sin A′＝eq \f(BC,A′B)＝eq \f(a,2R)， ∴sin A＝eq \f(a,2R)，即eq \f(a,sin A)＝2R. 类型二　用正弦定理解三角形 例2　在△ABC中，已知A＝45°，C＝30°，c＝10 ，解三角形． 答案： 【解析】， ，. 反思与感悟　(1)正弦定理实际上是三个等式：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，每个等式涉及四个元素， 所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． (2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理： ①已知三角形的任意两角与一边； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角． 跟踪训练2　在△ABC中，已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值． 解　根据三角形内角和定理， A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°. 根据正弦定理，得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(18sin 60°,sin 45°)＝9eq \r(6). 类型三　边角互化 命题角度1　化简证明问题 例3　在任意△ABC中，求证：a(sin B－sin C)＋b(sin C－sin A)＋c(sin A－sin B)＝0. 证明　由正弦定理，令a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，k0.代入得： 左边＝k(sin Asin B－sin Asin C＋sin Bsin C－sin Bsin A＋sin Csin A－sin Csin B)＝0＝右边， 所以等式成立． 命题角度2　运算求