步步高高中数学 步步高选修2-1 第二章 2.2.1（二）.docxVIP

PAGE PAGE 1 2.2.1　椭圆及其标准方程(二) 学习目标　加深理解椭圆定义及标准方程，能熟练求解与椭圆有关的轨迹问题． 知识点一　椭圆标准方程的推导 思考　观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程． 答案　(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy. (2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)． (3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并将其坐标化为eq \r(?x＋c?2＋y2)＋eq \r(?x－c?2＋y2)＝2a.① (4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)．② (5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(－c,0)，F2(c,0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程． 梳理　(1)椭圆的标准方程的形式 焦点位置 形状、大小 焦点坐标 标准方程 焦点在x轴上 形状、大小相同ab0，b2＝a2－c2，焦距为2c F1(－c,0)，F2(c,0) 方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0) 焦点在y轴上 F1(0，－c)，F2(0，c) 方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(ab0) (2)方程Ax2＋By2＝1表示椭圆的充要条件是A0，B0且A≠B. 知识点二　椭圆的焦点位置确定 思考1　已知椭圆的标准方程，怎样判定椭圆焦点在哪个坐标轴上？ 答案　看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的分母是a2，较小的分母是b2.如果x2项的分母大，焦点就在x轴上，如果y2项的分母大，则焦点就在y轴上． 思考2　椭圆方程中的a、b以及参数c有什么意义，它们满足什么关系？ 答案　椭圆方程中，a表示椭圆上的点到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半，叫半焦距． a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2. 梳理　(1)椭圆的焦点位置确定是由x2，y2的系数大小决定的． (2)当求解椭圆标准方程，遇到其焦点位置不定时，需分类讨论． 类型一　椭圆标准方程的确定 例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10； (2)经过点P(－2eq \r(3)，1)，Q(eq \r(3)，－2)． 解　(1)∵椭圆的焦点在x轴上， ∴设它的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)． 由题意得c＝4,2a＝10， ∴a＝5，b2＝a2－c2＝9. ∴所求的椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1. (2)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，且m≠n)， ∵点P(－2eq \r(3)，1)，Q(eq \r(3)，－2)在椭圆上， ∴代入得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(12m＋n＝1，,3m＋4n＝1，)) ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,15)，,n＝\f(1,5).)) ∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,5)＝1. 反思与感悟　求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置． 跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－eq \f(3,2)，eq \f(5,2))； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)． 解　(1)∵椭圆的焦点在y轴上， ∴设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(ab0)． 由椭圆的定义知： 2a＝ eq \r(?－\f(3,2)?2＋?\f(5,2)＋2?2)＋ eq \r(?－\f(3,2)?2＋?\f(5,2)－2?2) ＝2eq \r(10)， 即a＝eq \r(10).又c＝2， ∴b2＝a2－c2＝6. ∴所求的椭圆的标准方程为eq \f(y2,10)＋eq \f(x2,6)＝1. (2)∵椭圆