步步高高中数学 步步高选修2-1 第二章 2.2.1（一）.docxVIP

PAGE PAGE 1 2．2.1　椭圆及其标准方程(一) 学习目标　1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形． 知识点一　椭圆的定义 思考1　给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？ 答案　在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆． 思考2　在上述画椭圆过程中，笔尖移动需满足哪些条件？如果改变这些条件，笔尖运动时形成的轨迹是否为椭圆？ 答案　笔尖到两图钉的距离之和不变，等于绳长．绳长大于两图钉间的距离．若在移动过程中绳长发生变化，即到两定点的距离不是定值，则轨迹就不是椭圆．若绳长不大于两图钉间的距离，轨迹也不是椭圆． 梳理　(1)我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)椭圆的定义用集合语言叙述为： P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a|F1F2|}． (3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表： 条件 结论 2a|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 知识点二　椭圆的标准方程 思考　若两定点A、B间的距离为6，动点P到两定点的距离之和为10，如何求出点P的轨迹方程？ 答案　以两定点的中点为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)．设P(x，y)，依题意得|PA|＋|PB|＝10, 所以eq \r(?x－3?2＋y2)＋eq \r(?x＋3?2＋y2)＝10，即点P的轨迹方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1. 梳理　(1)标准方程的两种形式 形式一：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)，表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程，其中b2＝a2－c2. 形式二：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(ab0)，表示中心在原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程，其中b2＝a2－c2. (2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系 椭圆在坐标系中的位置 标准方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(ab0) 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 类型一　椭圆定义的应用 例1　点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹． 解　方程x2＋y2－6x－55＝0化标准形式为：(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值86＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆． 反思与感悟　椭圆定义的双向运用 (1)判断：符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆． (2)求值：椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a. 跟踪训练1　(1)已知A(－5,0)，B(5,0)．动点C满足|AC|＋|BC|＝10，则点C的轨迹是(　　) A．椭圆 B．直线 C．线段 D．点 (2)已知定点A(0，－1)，点B在圆F：x2＋(y－1)2＝16上运动，F为圆心，线段AB的垂直平分线交BF于P.则动点P的轨迹E为____________． 答案　(1)C　(2)以A，F为焦点的椭圆 解析　(1)因为|AC|＋|BC|＝10＝|AB|， 所以点C的轨迹是线段AB，故选C. (2)由题意得|PA|＝|PB|.所以|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝4|AF|＝2，所以动点P的轨迹E是以A，F为焦点的椭圆． 类型二　求椭圆的标准方程 例2　求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P(eq \f(1,3)，eq \f(1,3))，Q(0，－eq \f(1,2))的椭圆的标准方程． 解　方法一　①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆标准方程为：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)． 依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(?\f(1,3)?2,a2)＋\f(?\f(1,3)?2,b2)＝1，,0＋\f(?－\f(1,2)?2,b2)＝1，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\