步步高高中数学 步步高选修2-1 第二章 2.4.1.docxVIP

PAGE PAGE 1 2．4.1　抛物线及其标准方程 学习目标　1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题． 知识点一　抛物线的定义 思考　到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么？ 答案　抛物线． 梳理　(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． (2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1)． 知识点二　抛物线的标准方程 思考　抛物线标准方程有何特点？ 答案　(1)点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于eq \f(p,2). 梳理　一条抛物线，由于它在平面内的位置不同，所以方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p0)，y2＝－2px(p0)，x2＝2py(p0)，x2＝－2py(p0)． 现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下： 图象 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p0) (eq \f(p,2)，0) x＝－eq \f(p,2) y2＝－2px(p0) (－eq \f(p,2)，0) x＝eq \f(p,2) x2＝2py(p0) (0，eq \f(p,2)) y＝－eq \f(p,2) x2＝－2py(p0) (0，－eq \f(p,2)) y＝eq \f(p,2) 类型一　抛物线定义理解及应用 例1　(1)动点M的坐标满足方程5eq \r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 (2)已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆x2＋y2＝1上运动，则点Q(x＋y，xy)的轨迹所在的曲线是________(在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一个作答)． 答案　(1)C　(2)抛物线 解析　(1)把方程5eq \r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|转化为eq \r(x2＋y2)＝eq \f(|3x＋4y－12|,5)， 设动点M(x，y)，上式可看作动点M到原点的距离等于动点M到直线3x＋4y－12＝0的距离，所以动点M的轨迹是以原点为焦点，以直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线． (2)设动点Q(x′，y′)，则有x′＝x＋y, y′＝xy，又有x2＋y2＝1，即(x＋y)2－2xy＝1，所以x′2－2y′＝1，故Q(x＋y，xy)的轨迹所在的曲线是抛物线． 反思与感悟　抛物线的判断方法 (1)可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离． (2)求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程． 跟踪训练1　平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程． 解　方法一　设点P的坐标为(x，y)， 则有eq \r(?x－1?2＋y2)＝|x|＋1， 两边平方并化简得y2＝2x＋2|x|. ∴y2＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x，　x≥0，,0，　x0.)) 即点P的轨迹方程为y2＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x，　x≥0，,0，　x0.)) 方法二　由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1， 由于点F(1,0)到y轴的距离为1， 故当x0时，直线y＝0上的点适合条件； 当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x＝－1的距离相等， 故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线， 方程为y2＝4x. 故所求动点P的轨迹方程为y2＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x，　x≥0，,0，　x0.)) 类型二　求抛物线的标准方程 例2　根据下列条件分别求抛物线的标准方程． (1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点； (2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5. 解　(1)双曲线方程可化为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1， 左顶点为(－3,0)， 由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p0)且eq \f(－p,2)＝－3， ∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x. (2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，由抛物线定义得5＝|AF|＝e