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2.4.2 抛物线的简单几何性质
学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.
知识点一 抛物线的范围
思考 观察下列图形,思考以下问题:
(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形,分析其几何图形存在哪些区别?
(2)根据图形及抛物线方程y2=2px(p0)如何确定横坐标x的范围?
答案 (1)抛物线与另两种曲线相比较,有明显的不同,椭圆是封闭曲线,有四个顶点,有两个焦点,有中心;双曲线虽然不是封闭曲线,但是有两支,有两个顶点,两个焦点,有中心;抛物线只有一条曲线,一个顶点,一个焦点,无中心.
(2) 由抛物线y2=2px(p0)有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2px=y2≥0,,p>0,))所以x≥0.所以抛物线x的范围为x≥0.抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,︱y︱也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
知识点二 抛物线的对称性、准线方程
抛物线四种形式的性质如下表所示:
标准方程
图形
范围
顶点坐标
对称轴
焦点坐标
准线方程
离心率
y2=2px(p0)
x≥0,y∈R
(0,0)
x轴
(eq \f(p,2),0)
x=-eq \f(p,2)
e=1
y2=-2px(p0)
x≤0,y∈R
(0,0)
x轴
(-eq \f(p,2),0)
x=eq \f(p,2)
e=1
x2=2py(p0)
x∈R,y≥0
(0,0)
y轴
(0,eq \f(p,2))
y=-eq \f(p,2)
e=1
x2=-2py(p0)
x∈R,y≤0
(0,0)
y轴
(0,-eq \f(p,2))
y=eq \f(p,2)
e=1
知识点三 直线与抛物线的位置关系
直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p0)的交点个数决定于关于x的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y=kx+b,,y2=2px))解的个数,即二次方程k2x2+2(kb-p)x+b2=0解的个数.
当k≠0时,若Δ0,则直线与抛物线有两个不同的公共点;若Δ=0时,直线与抛物线有一个公共点;若Δ0时,直线与抛物线没有公共点.
当k=0时,直线与抛物线的轴平行或垂直,此时直线与抛物线有1个公共点.
类型一 抛物线的性质应用
例1 (1)已知抛物线y2=8x,求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围.
(2)抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程.
解 (1)抛物线y2=8x,p=4,所以顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x≥0.
(2)椭圆的方程可化为eq \f(x2,4)+eq \f(y2,9)=1,其短轴在x轴上,
∴抛物线的对称轴为x轴,
∴设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,即eq \f(p,2)=3,
∴p=6.
∴抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x,
其准线方程分别为x=-3或x=3.
反思与感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口:由抛物线标准方程看图象开口,关键是看准二次项是x 还是y,一次项的系数是正还是负.
(2)关系:顶点位于焦点与准线中间、准线垂直于对称轴.
(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.
跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交于A、B两点,|AB|=2eq \r(3),求抛物线方程.
解 由已知,抛物线的焦点可能在x轴正半轴上,也可能在负半轴上.
故可设抛物线方程为:y2=ax(a≠0).
设抛物线与圆x2+y2=4的交点A(x1,y1),B(x2,y2).
∵抛物线y2=ax(a≠0)与圆x2+y2=4都关于x轴对称,
∴点A与B关于x轴对称,
∴|y1|=|y2|且|y1|+|y2|=2eq \r(3),
∴|y1|=|y2|=eq \r(3),代入圆x2+y2=4,
得x2+3=4,∴x=±1,
∴A(±1,eq \r(3))或A(±1,-eq \r(3)),代入抛物线方程,得:
(eq \r(3))2=±a,∴a=±3.
∴所求抛物线方程是:y2=3x或y2=-3x.
类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题
例2 (1)过抛物线y2=8x的焦点,倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________.
(2) 直线l过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于A,B两点,若|AB|=8,则直线l的方程为____________
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