步步高高中数学 步步高选修2-1 第三章 3.2(三).docxVIP

PAGE PAGE 1 学习目标　1.理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.3.体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲． 知识点　利用空间向量求空间角 思考1　空间角包括哪些角？ 答案　线线角、线面角、二面角． 思考2　求解空间角常用的方法有哪些？ 答案　传统方法和向量法． 梳理　空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解． (1)线线角：设两条直线的方向向量分别为a，b，且a与b的夹角为φ，两条直线所成角为θ，则cos θ＝|cos_φ|＝eq \f(|a·b|,|a||b|). (2)线面角：设n为平面α的一个法向量，a为直线a的方向向量，直线a与平面α所成的角为θ，则 θ＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－〈a，n〉，当〈a，n〉∈[0，\f(π,2)]，,〈a，n〉－\f(π,2)，当〈a，n〉∈?\f(π,2)，π].)) (3)二面角的求法： ①转化为分别在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的方向向量的夹角(注意：要特别关注两个向量的方向)． 如图所示，二面角α－l－β的大小为θ，A，B∈l，AC?α，BD?β，AC⊥l于A，BD⊥l与B，则θ＝〈eq \o(AC,\s\up6(→))，eq \o(BD,\s\up6(→))〉＝〈eq \o(CA,\s\up6(→))，eq \o(DB,\s\up6(→))〉． ②先求出二面角一个面内一点到另一面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角． 如图所示，已知二面角α－l－β，在α内取一点P，过P作PO⊥β，PA⊥l，垂足分别为O，A，连接AO，则AO⊥l成立，所以∠PAO就是二面角的平面角． ③先求出二面角的两个半平面的法向量的夹角，然后结合图形与题意判断求出的是二面角的大小，还是它的补角的大小，从而确定二面角的大小. 类型一　求两条异面直线所成的角 例1 如图所示，三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝eq \r(3)，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小． 解　建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)， O1(0,1，eq \r(3))，A(eq \r(3)，0,0)， A1(eq \r(3)，1，eq \r(3))，B(0,2,0)， ∴eq \o(A1B,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，1，－eq \r(3))， eq \o(O1A,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，－1，－eq \r(3))． ∴|cos〈eq \o(A1B,\s\up6(→))，eq \o(O1A,\s\up6(→))〉| ＝eq \f(|\o(A1B,\s\up6(→))·\o(O1A,\s\up6(→))|,|\o(A1B ,\s\up6(→))\o(\s\up7(　),\s\do5(　))|·|\o(O1A,\s\up6(→))|) ＝eq \f(|?－\r(3)，1，－\r(3)?·?\r(3)，－1，－\r(3)?|,\r(7)·\r(7))＝eq \f(1,7). ∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为eq \f(1,7). 反思与感悟　在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解．但应用向量法时一定要注意向量所成的角与异面直线所成角的区别． 跟踪训练1　正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值． 解　不妨设正方体棱长为2，分别取DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)，F(1,1,2)，则eq \o(AE,\s\up6(→))＝(－1,0,2)，eq \o(CF,\s\up6(→))＝(1，－1,2)， ∴|eq \o(AE,\s\up6(→))|＝eq \r(5)，|eq \o(CF,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，eq \o(AE,\s\up6(→))·eq \o(CF,\s\up6(→))＝－1＋0＋4＝3. 又eq \o(AE,\s\up6(→))·eq \o(CF,\s\up6(→))＝|eq \o(AE,\s\up6(→))||eq \o(CF,\s\up6(→))|cos〈eq \o(AE,\s\up6(→))，eq \o(CF,\s\up6(→))〉 ＝eq \r(30)cos〈eq \o(AE,\s\up6(→))，eq \o(CF,\s\up6