步步高高中数学 步步高选修2-1 第一章 1.2.docxVIP

PAGE PAGE 1 学习目标　1.理解充分条件、必要条件与充要条件的概念.2.掌握判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的方法． 知识点一　充分条件与必要条件 思考　用恰当的语言表述下列语句的意义 ①一个人如果骄傲自满，那么就必然落后； ②只有同心协力，才能把事情办好． 答案　①如果不骄傲自满，那就可能不落后，也可能落后，骄傲自满是落后的充分条件． ②同心协力是办好事情的必要条件． 梳理　(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p?q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若p?q，但qp，称p是q的充分而不必要条件，若q?p，但pq，称p是q的必要而不充分条件． 知识点二　充要条件 思考　在△ABC中，角A、B、C为它的三个内角，则“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？ 答案　因为A、B、C成等差数列，故2B＝A＋C，又因A＋B＋C＝π，故B＝60°，反之，亦成立，故“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的充分必要条件． 梳理　(1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件． (2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p?q，那么p与q互为充要条件． 知识点三　充分条件、必要条件和充要条件的联系与区别 充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要是用来区分命题的条件p和结论q之间的关系． (1)从逻辑关系上看． ①若p?q，但qp，则p是q的充分不必要条件； ②若q?p，但pq，则p是q的必要不充分条件； ③若p?q，且q?p，则p是q的充分必要条件，简称充要条件； ④若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件． (2)从集合与集合之间的关系上看． 如果p，q分别以集合A、集合B的形式出现，那么p，q之间的关系可以借助集合知识来判断． ①若A?B，则p是q的充分条件； ②若A?B，则p是q的必要条件； ③若A＝B，则p是q的充要条件； ④若AB，且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件，即p是q的既不充分也不必要条件． (3)从传递性角度看． 由于逻辑联结符号“?”“?”“?”具有传递性，因此可根据几个条件之间的关系，经过若干次的传递，判断所给的两个条件之间的关系． (4)从等价命题角度看． 当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系时，可利用原命题与其逆否命题的等价性来判断，即等价转化为判断其逆否命题是否成立． 类型一　充分条件、必要条件和充要条件的判断 例1　下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0； (2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形； (3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝eq \r(x－1)； (4)p：m－1，q：x2－x－m＝0无实根； (5)p：ab≠0，q：直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交． 解　(1)∵a＋b＝0a2＋b2＝0； a2＋b2＝0?a＋b＝0， ∴p是q的必要不充分条件． (2)∵四边形的对角线相等四边形是矩形； 四边形是矩形?四边形的对角线相等， ∴p是q的必要不充分条件． (3)∵x＝1或x＝2?x－1＝eq \r(x－1)； x－1＝eq \r(x－1)?x＝1或x＝2，∴p是q的充要条件． (4)若方程x2－x－m＝0无实根，则Δ＝1＋4m0， 即m－eq \f(1,4).∵m－1?m－eq \f(1,4)；m－eq \f(1,4)m－1， ∴p是q的充分不必要条件． (5)由ab≠0，即a≠0且b≠0，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0，即ab≠0，故p是q的充要条件． 反思与感悟　对于两个命题：p与q. (1)若有“p?q，但qp”，则称p是q成立的充分不必要条件． (2)若有“q?p，但pq”，则称p是q成立的必要不充分条件． (3)若有“p?q，且q?p”，则称p是q成立的充要条件． (4)若有“pq，且qp”，则称p是q成立的既不充分也不必要条件． 跟踪训练1　设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　D 解析　可采用特殊值法进行判断，令a＝1，b＝－1，满足ab，但不满足a2b2，即条件“ab”不能推出结论“a2b2”；再令a＝－1，b＝0，满足a2b2，但不满足ab，即结论“a2b2”不能推出条件“ab”．故选D. 类型二　递推法判断命题间的关系 例2　已知