步步高高中数学 步步高选修2-2 第一章1.4.docxVIP

PAGE PAGE 1 [学习目标]　1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决实际生活中简单的优化问题.3.学会建立数学模型，并会求解数学模型. 知识点一　利用导数解决生活中的优化问题的步骤 1.分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)； 2.求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； 3.比较函数在区间端点和在f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值. 思考　(1)什么是优化问题？ (2)优化问题的常见类型有哪些？ 答案　(1)在生活中，人们常常遇到求使经营利润最大、用料最省、费用最少、生产效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题. (2)费用最省问题，利润最大问题，面积、体积最大问题等. 知识点二　解决优化问题的基本思路 思考　解决生活中优化问题应注意什么？ 答案　(1)当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，列出变量间的关系式； (2)在建立函数模型的同时，应根据实际问题确定出函数的定义域； (3)在实际问题中，由f′(x)＝0常常得到定义域内的根只有一个，如果函数在这点有极大值(极小值)，那么不与端点处的函数值比较，也可以判断该极值就是最大值(最小值)； (4)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，例如，长度、宽度应大于0，销售价格为正数等. 题型一　利润最大问题 例1　某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低售价，销售量就会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元/件，0≤x≤21)的平方成正比.已知每件商品的售价降低2元时，一星期多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成关于x的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 解　(1)若每件商品单价降低x元，则一个星期多卖的商品数为kx2件. 由已知条件得k·22＝24，解得k＝6. 若记一个星期的商品销售利润为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]. (2)对(1)中函数求导得f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12). 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x 0 (0,2) 2 (2,12) 12 (12,21) 21 f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 9 072  极小值  极大值  0 ∴x＝12时，f(x)取得极大值.∵f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，∴30－12＝18(元)，故定价为每件18元能使一个星期的商品销售利润最大. 反思与感悟　利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值. 解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利. 跟踪训练1　某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x吨与每吨产品的价格p(元/吨)之间的函数关系式为p＝24 200－eq \f(1,5)x2，且生产x吨产品的成本为R＝50 000＋200x(元).问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？ 解　依题意，知每月生产x吨产品时的利润为f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(24 200－\f(1,5)x2))x－(50 000＋200x)＝－eq \f(1,5)x3＋24 000x－50 000(x＞0)，故f′(x)＝－eq \f(3,5)x2＋24 000. 令f′(x)＝0，得x1＝200，x2＝－200(舍去). ∵在(0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，且x＝200是极大值点，∴200就是最大值点，且最大值为f(200)＝－eq \f(1,5)×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元). ∴每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元. 题型二　面积、容积最值问题 例2　已知一扇窗子的形状为一个矩形和一个半圆相接，其中半圆的直径为2r，如果窗子的周长为10，求当半径r取何值时窗子的面积最大. 解　设矩形的另一边长为x，半圆弧长为πr， ∴πr＋2r＋2x＝10，∴x＝eq \f(10－?π＋2?r,2). 又S＝eq \f(1,2)πr2＋2xr＝10r－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)π＋2))r2(0＜r＜eq \f(10,π＋2))， ∴S′＝10－(π＋4)r， 令S′＝0，得r＝eq \f(10,4＋π)， 当0＜r＜eq \f(10,4＋π)