工程力学第9章 梁弯曲时的刚度计算.ppt

第9章 梁弯曲时的刚度计算 对于工程中承受弯曲变形的构件，设计时除了应使其工作应力不超过材料的许用应力之外，还必须考虑由于变形过大可能会出现的问题。例如 9.1 挠曲线近似微分方程 ◆挠曲线方程 ： ◆挠度 ： ◆转角 ： 挠曲线 逆时针的转角为正，反之为负。 向上的挠度为正，反之为负。 9.1.1 挠度和转角 9.1 挠曲线近似微分方程 ◆挠曲线方程 ： 挠曲线 9.1.2 挠度和转角的关系 9.1.3 挠曲线近似微分方程 一、挠曲线的曲率公式 弯矩正负号规定 高等数学知识 讨论： 挠曲线近似微分方程 9.2 计算梁位移的积分法 ◆ 挠曲线近似微分方程 ◆ 梁的转角方程 ◆ 梁的挠曲线方程 1、位移边界条件 2、位移连续条件 ◆ 积分常数C、D的确定 [例 ] 受均布载荷作用的简支梁如图所示，已知抗弯刚度 为常数，试求此梁的最大挠度 以及截面A的转角 。 （1）列弯矩方程 解： 利用对称关系易得梁的支座反力 从而得梁的弯矩方程为 （2）建立转角方程和挠曲线方程 将所得弯矩方程代入式（7-4），积分一次，得转角方程 对式（a）再积分一次，得挠曲线方程 （a） （b） （3）确定积分常数 将上述位移边界条件代入分别代入式（a）、（b）， 解得积分常数 , 位移边界条件：在两端固定铰支座处，挠度为零，即 将所得积分常数代入式（a）、（b），梁的转角方程和 挠曲线方程分别成为 （c） （d） （4）计算最大挠度与截面的转角 作出梁的弯矩图如下图所示，全梁弯矩为正。考虑到 结构与载荷的对称性，可知梁的挠曲线是一条关于中 间截面对称的凹曲线。 在中间截面，即 处挠度 取极值。将 代入式 （d），得梁的最大挠度 再将 代入式（c），即得截面A的转角为 为负，说明其方向向下。 为负，说明截面A的转角为顺时针转向。 [例 ] 如图所示简支梁，在无限接近右支座B处受到矩为 的集中力偶作用，试计算梁的最大挠度。设弯曲刚度 为常数。 （1）列弯矩方程 解： 由梁的平衡方程，易得 , 从而得梁的弯矩方程为 （2）建立转角方程和挠曲线方程 将所得弯矩方程代入式（7-4），积分一次，得转角方程 对式（a）再积分一次，得挠曲线方程 （a） （b） （3）确定积分常数 将上述位移边界条件代入分别代入式（a）、（b）， 解得积分常数 位移边界条件：在两端固定铰支座处，挠度为零，即 , 将所得积分常数代入式（a）、（b），梁的转角方程和 挠曲线方程分别成为 （c） （d） （4）计算最大挠度与截面的转角 作出梁的弯矩图如下图所示，全梁弯矩为正。其最大 挠度处的转角为零。故由式（c）有 将上述 值代入式（d），即得梁的最大挠度 从而得最大挠度所在截面的坐标为 结果为负，说明挠度方向向下。 9.3 计算梁位移的叠加法 ◆叠加法: 在小变形且材料服从胡克定律的情况下，梁任一截面处的挠 度和转角是梁上所受外载荷的线性函数。所以当梁上有几种 载荷同时作用时，可以先分别计算每一种载荷单独作用在梁 上所产生的变形，然后再按照代数值相加，即可得梁的实际 变形。这种方法即为计算弯曲变形的叠加法。 [例 ] 某起重机的大梁的自重为均布载荷，集度为 。作用在梁跨度中点的吊重为集中力 ，如图所示。设梁的弯曲刚度为 ，试求大梁跨度中点C的挠度 。 ， 。 解：在均布载荷 单独作用下，大梁跨度中点C的挠度由教材 表7–1第6栏中查出为 在集中力 单独作用下，大梁跨度中点C的挠度由教材表7–1第5栏中查出为 将以上结果叠加，即得在均布载荷 和集中力 的共同作用 下，大梁跨度中点C的挠度 9.4 简单超静定梁 一、变形比较法 （1）解除多余约束，以相应的多余约束力代之作用，得到 原静不定梁的相当系统； （2）根据多余约束的性质，建立变形协调方程； （3）计算相当系统在多余约束处的相应位移，由变形协调 方程得到补充方程； （4）由补充方程求出多余约束力。 [例 ] 试用变形比较法计算如图所示超静定梁的约束力