导数与微分2.5函数的微分.ppt

* 2.5 函数的微分 首页 上页 下页 返回 结束 微分的定义 微分的几何意义 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 微分在近似计算中的应用 首页 上页 下页 返回 结束 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 面积的增量为 关于△x 的线性主部 高阶无穷小 时为 故 称为函数在 的微分 当 x 在 取 得增量 时, 变到 边长由 其 2.5.1 微分的定义 首页 上页 下页 返回 结束 的微分, 定义2-2: 若函数 在点 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 而 称为 记作 即 定理2-5: 函数 在点 可微的充要条件是 即 在点 可微, 首页 上页 下页 返回 结束 定理2-5 : 函数 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 故 在点 的可导, 且 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 首页 上页 下页 返回 结束 “充分性” 已知 即 在点 的可导, 则 首页 上页 下页 返回 结束 说明: 时 , 所以 时 很小时, 有近似公式 与 是等价无穷小, 当 故当 首页 上页 下页 返回 结束 函数y?f (x)在任意点x的微分，称为函数的微分， 记作dy或 d f (x)．于是， ． 因为当　　　时， ，所以通常 把自变量x的增量　　称为自变量的微分，记作dx， 即　　　 ．于是函数y ?f (x)的微分又可记作 求导问题．以后我们将求函数的导数与微分的方法 从而，求一个函数的微分的问题便归结为求函数的 称为微分法． 首页 上页 下页 返回 结束 将 两端除以 ,便有 ,这就是说， 的导数．因此，导数也叫做“微商”． 函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数 一般地，若函数的参数方程为 存在且 ,则y关于x的导数 即 首页 上页 下页 返回 结束 例2-38 求函数y?x2在点x?3处的微分． 解 例2-39 求函数 当 时的微分． 解 首页 上页 下页 返回 结束 例2-40 求由参数方程 所确定的函数 的导数 ，并求 . 解 首页 上页 下页 返回 结束 微分的几何意义 当 很小时, 则有 从而 导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 自变量的微分, 记作 记 2.5.2 微分的几何意义 首页 上页 下页 返回 结束 1. 基本初等函数的微分公式 2.5.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 首页 上页 下页 返回 结束 2、 和、差、积、商的微分法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 分别可微 , 的微分为 微分形式不变 3. 复合函数的微分 则复合函数 首页 上页 下页 返回 结束 例2-41 求 解法一 利用微分形式不变性． 解法二 利用微分的计算公式． *