工程力学第5章.pptx

第5章　空间一般力系和重心空间一般力系是各力作用线在空间任意分布的力系,也称为空间任意力系。显然,这是力系中最一般的情况,其他各种力系都是它的特殊情况。本章将研究空间一般力系的简化与平衡问题。与平面力系的研究方法相似,空间一般力系的简化也是应用力向一点平移的方法将空间一般力系分解为两个基本力系:空间汇交力系和空间力偶系,再应用这两个力系的简化结果简化原力系,建立空间一般力系的平衡条件并导出平衡方程。 5. 1　力对轴之矩设有一平面L,其上力F对平面内O点之矩将使刚体绕O点转动,如图5-1a所示。从空间的观点看,这一转动效应实际上就是空间物体绕通过O点且与该平面垂直的空间轴z轴的转动。所以,平面内力对点之矩实际上就是空间问题中的力对轴之矩。此时,力F的作用线须与z轴在空间相互垂直。力F对z轴之矩度量了力F使刚体绕z轴转动的效应。图5-1若力F不在垂直于z轴的平面内,如图5-1b所示,要考察力F使刚体绕z轴转动的效应,需将力F分解为两个分力Fz和Fxy(图5-1b)。分力Fz平行于z轴,它对刚体绕z轴的转动不起作用;分力Fxy在垂直于z轴的平面内,Fxy对z轴的矩表示了力F使刚体绕z轴转动的效应。由此可得如下定义:空间力对轴之矩是使刚体绕此轴转动效应的度量,它等于此力在垂直于轴的任一平面上的投影对轴与平面交点之矩。若以Mz(F)表示力F对z轴之矩,上述定义可表示为式中,正负号按右手螺旋规则确定,即从z轴的正向朝负向看,若Fxy使刚体绕该轴作逆时针转动,取正号;反之则取负号。显然,力对轴之矩是代数量。由上述定义可知:(1)当力沿其作用线滑移时,力对轴之矩不变;(2)当力的作用线与轴相交(d=0)或平行(Fxy=0)时,力对该轴之矩等于零。与平面问题中力对点之矩一样,力对轴之矩也有合力矩定理,即合力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。力对轴之矩也可用解析式表示。设力F在三个坐标轴上的投影分别为Fx、Fy、Fz,力F的作用点A的坐标为(x、y、z),如图5-2所示。由力对轴之矩的定义和合力矩定理,可得图5-25.2　力对轴之矩与力对点之矩的关系空间力对点之矩是一个矢量,可用力的作用点到矩心的矢径r与力F的矢积表示将此式用解析形式表示,可以得到因此,力对点之矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影分别为比较式(5-2)和式(5-3)不难看到:力对点之矩矢在通过该点的任一轴上的投影,等于力对该轴之矩。上述结论也可用几何法证明。用MO(F)表示力F对点O的矩矢,用Mz(F)表示力F对通过点O的z轴之矩,如图5-4所示。MO(F)的大小为|MO(F)|=2△OAB面积力F对z轴之矩也可用相应的三角形面积表示为Mz(F)=2△OAB面积图5-4△OAB是△OAB在坐标面Oxy上的投影。该两三角形平面间的夹角即是这两个平面法线间的夹角γ,也就是矢量MO(F)与z轴之间的夹角,如图5-4所示。由几何学关系有△OAB=△OABcosγ即[MO(F)]z=Mz(F)(5-4a)同理可得对x轴和y轴的相应关系[MO(F)]x=Mx(F)(5-4b) [MO(F)]y=My(F)(5-4c)5.3　空间一般力系向任意点简化及其结果的讨论5.3.1　空间一般力系向任意点简化与平面一般力系的简化方法一样,用力的平移定理,可以把空间一般力系向任意一点简化。要注意的是,由于空间一般力系中各力的作用线不在同一平面内,故将力系中各分力向一点平移时,附加力偶的力偶矩应当用矢量表示。设一空间一般力系(F1、F2、…、Fn)作用在刚体上,如图5-5a所示。将力系中各力分别向任选的简化中心O平移,可以得到一空间汇交力系(F1、F2、…、Fn)和一空间力偶系,该力偶系的各分力偶矩矢分别为M1、M2、…、 Mn,如图5-5b所示。其中图5-5这两个力系可以分别按空间汇交力系和空间力偶系的合成方法合成为通过简化中心的一个力和一个力偶。力矢量为力偶的力偶矩矢为FR称为空间一般力系的主矢,MO称为空间一般力系对简化中心的主矩。同样地,力系的主矢与简化中心的位置选择无关;而主矩与简化中心的位置选择有关。与平面力系不同的是,空间力系的主矩是矢量而不是代数量。于是得到结论:空间一般力系向任意点简化,可以得到一个力和一个力偶。这个力通过简化中心,大小和方向等于此空间一般力系的主矢;这个力偶的力偶矩矢等于此空间一般力系对简化中心的主矩。在实际计算中,常采用解析式。过简化中心建立直角坐标系Oxyz。用FRx、FRy、FRz和Fix、Fiy、Fiz分别表示主矢FR和空间一般力系中各分力Fi在坐标轴上的投影,由合力投影定理有空间一般力系的主矢FR的大小和方向为(为便于书写,下标i可略去)若用MOx、MOy、MOz分别表示空间一般力系对简化中心O的主矩MO在x、y、z轴上的投影,由式(5-4)及合矢量