工程力学第12章 压杆的稳定问题.ppt

轴向压缩杆的强度条件为 即认为杆的失效都是由于强度不足引起的。事实上，这种考虑仅对粗短的压杆才有意义。对于细长的压杆。在其破坏之前，就已不能保持其原有的直线形状的平衡，即丧失稳定性。构件一旦失稳，可能导致整个结构不能安全工作。 第12章 压杆的稳定问题 平衡的稳定性 随遇平衡 12.1 稳定性的概念 压杆的稳定性 —稳定平衡状态 —临界平衡状态 —不稳定平衡状态 关键 确定压杆的临界力 Fcr 12.2.1 两端铰支约束细长压杆的临界载荷 m x m w B x y l F m m F M(x)=-Fw x y B 12.2 细长压杆的临界载荷 m m F M(x)=-Fw x y B 压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移 该截面的弯矩 杆的挠曲线近似微分方程 （a) 令 　 (b) 得 　 (b)式的通解为 （A、B为积分常数） 边界条件 由式(c) 若 则必须 令 n = 1, 得 这就是两端铰支等截面细长受压直杆临界力的计算公式（欧拉公式）. m x m w B x y l F 挠曲线方程为 挠曲线为半波正弦曲线. 12.2.2 其它支承条件下细长压杆的临界载荷 Fcr l l Fcr 2l Fcr l/4 l/4 l/2 l Fcr l 0.3l 0.7l 欧拉公式 —相当长度 —长度因数 表 各种约束条件下细长压杆临界力的欧拉公式 两端铰支 一端固定一端铰支 两端固定 一端固定一端自由 约束情况 临界力的欧拉公式 长度因数 ? ? = 1 ? = 0.7 ? = 0.5 ? = 2 欧拉公式的统一形式 ? 为压杆的长度因数， ? l 为相当长度 讨论： （1）相当长度 ? l 的物理意义 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长度? l 。 ? l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度. （2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I 若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩.取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力。 z y x 若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱 形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临 界压力。I 为其相应中性轴的惯性矩。 即分别用 Iy ，Iz 计算出两个临界压力, 然后取小的作为压杆的临界压力。 12.3 临界应力总图 1.临界应力与柔度 压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平衡时，横截面上的压应力可按 ? = F/A 计算. 按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面 上的应力为 由 则 12.3.1 欧拉公式的适用范围 令 则 i 为压杆横截面对中性轴的惯性半径. ? 称为压杆的柔度（长细比），反映了压杆的长度l和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响. ? 越大，相应的 ?cr 越小，压杆越容易失稳. 若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度?，并按较大者计算压杆的临界应力 ?cr 。 2.欧拉公式的应用范围 只有在 ?cr ≤ ?p 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界力 Fcr（临界应力 ?cr ）. 或 令 即l ≥ ?p（大柔度杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围. ?p 的大小取决于压杆材料的力学性能. 例如，对于Q235钢， 可取 E=206GPa，?p=200MPa，得 当 ? ＜?p 但大于某一数值 ?s 的压杆不能应用欧拉公式，此时需用经验公式. 1.直线公式 或 令 式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出. ?s 是相应屈服极限的柔度. 的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式. 12.3.2 中小柔度杆的临界应力 2.抛物线公式 或 12.3.2 中小柔度杆的临界应力 （1）大柔度杆 （2）中柔度杆 （3）小柔度杆 12.3.3 压杆的临界应力总图