工程力学第7章.pptx

; 工程中有些杆件如车床中的主轴、传动轴,汽车方向盘下的转向轴AB(图7-1a)、攻螺纹用丝锥的锥杆(图7-1b)等,均属于受扭转的杆件。 ; 它们都有相同的受力特点和变形形式,从而均可抽象为如图7-2所示的力学模型。由图可见,它们的受力和变形特点是:在杆件的两端作用有两个大小相等、转向相反,且作用面垂直于杆件的轴线的力偶,致使杆件的任意两个横截面发生绕杆轴作相对转动的变形。这种变形称为扭转。扭转时两个横截面相对转动的角度,称为扭转角,一般用φ表示(图7-2)。以扭转变形为主的杆件通常称为轴。截面形状为圆形的轴称为圆轴,圆轴在工程上是常见的一种受扭转的杆件。 ;7.2　外力偶矩的计算　扭矩和扭矩图; 工程中作用于轴上的外力偶矩有时并不直接给出,而往往给出轴的转速和所传递的功率,它们的换算关系为; 对于图7-3a所示的圆轴,为分析其内力,按截面法,在轴的任一横截面n—n处假想地把圆轴截开分成左、右两部分,保留左部分,考虑其平衡。在外力偶矩Me作用下,截面n—n上必有与Me转向相反的内力偶,设其矩为T(图7-3b),由平衡条件得 内力偶矩T称为扭矩。; 扭矩的符号规定如下:按右手螺旋法则,用拇指指向表示T的矢量方向,当扭矩方向与截面的外法线方向一致时定为正号,相反时为负号(图7-4)。按照这一符号规定,图7-3b中所示扭矩T为正。当保留右部分时(图7-3c),所得扭矩的大小、符号与按保留左半部分的计算结果相同。; 若作用于轴上的外力偶矩多于两个,则在轴各段的横截面上,扭矩不尽相同,这时往往用图线形象地表示截面上扭矩沿轴线变化的情况。如以平行于轴线的坐标表示横截面的位置,垂直于轴线的坐标表示相应截面上的扭矩,这样绘成的图形称为扭矩图。图7-3d为图7-3a所示轴的扭矩图。;7.3　薄壁圆筒的扭转　切应力互等定理 剪切胡克 定律; 薄壁圆筒指的是壁厚δ远小于其平均半径r0的圆筒(图7-6a)。当其两端作用一对大小相等、转向相反的外力偶矩Me时,即发生扭转变形。 在施加外力偶矩之前,可先在圆筒表面上画出一系列纵向线和距筒端稍远处的圆周线。施加外力偶矩Me后,当圆筒产生不大的扭转角φ(图7-6c)时,可以观察到如下现象:;图　7-6; 由于圆筒沿纵向和周向均无尺寸改变,且筒沿这两个方向的变形并未受到约束,故它沿纵向和周向将不会有正应力。 若以筒的横截面及径向截面从筒中截取微小的直角六面体abcd如图7-6d所示,则上述角度γ就是此微小直角六面体上原矩形abcd的直角改变量。这种直角改变量称为切应变。; 直角六面体发生切应变,在它的侧面上必有切应力作用,根据切应变γ的倾斜方位,可以断定切应力τ的方向与过该点的半径垂直,其指向顺同T的转向。由于所有纵向线的倾角γ相同,说明沿圆周上各点的切应变相等,因而可知在同一圆周上各点的切应力τ也大小相等。由于筒壁很薄,故可近似地认为切应力沿壁厚均匀分布,如图7-6e所示。; 在横截面上取一微面积dA=δr0dθ,则作用在其上的微内力为τdA(图7-6e)。由静力分析可知,在整个截面上所有这些微内力矩之和即为截面上的扭矩T,即;从几何关系可得; 将图7-6d中微小直角六面体尺寸取为ab=dy,bc=dx,厚度用dz表示,即如图7-7所示。称该微小直角六面体为单元体。; 由力偶的平衡条件可得 τ=τ(7-4) 此式表明,通过物体内一点处两个互相垂直的截面上垂直于两截面交线的切应力,必然数值相等,其方向均指向或背离此交线。这一关系称为切应力互等定理。 ; 图7-7所示单元体的四个侧面上,只有切应力而无正应力,这种情况称为纯剪切应力状态。切应力互等定理虽然是以纯剪切的情况证明的,但是当单元体上同时存在正应力时,仍然成立,它是具有普遍意义的。; 从薄壁圆筒的扭转试验可以得到与拉伸图相似的T-φ图(图7-8),其中有一部分是直线,利用式(7-2)、式(7-3)即可以从此图得到切应力τ与切应变γ间的关系图线(图7-9),其中,直线部分说明τ与γ成正比,即有 τ=Gγ(7-5);图　7-8; 图7-9中直线部分最高点的切应力值称为剪切比例极限,用τp表示,其值也随材料而不同,需由试验测定。当切应力超过这一极限值时,式(7-5)所表达的关系不再成立。;7.4　圆轴扭转时的应力和变形;1.几何方面; 根据上述假设,若用相距dx的两个横截面以及夹角无限小的两个径向截面从轴中切取一楔形体O1O2ABCD(图7-11a)则其变形如图7-11b所示,轴表面矩形ABCD变为平行四边形ABCD,距轴线ρ处的矩形abcd变为平行四边形abcd,即均产生剪切变形。; 设所切楔形体左、右两截面间相对转角即扭转角为d