工程力学第十一章 梁的变形.ppt

1.用叠加法求弯曲变形 2.梁的刚度计算 第一节 梁的挠度和转角 第二节 挠曲线近似微分方程及其积分 第三节 用叠加法求弯曲变形 梁的刚度计算 本章重点 第十一章 梁的变形 第四节 简单的超静定梁 一、挠曲线方程： 挠曲线 7-2 第一节 梁的挠度和转角 F 目录 梁平面内弯曲时，梁的轴线由直线变成一条在纵向对称面内 的连续光滑曲线，这条曲线称为梁的挠曲线。 挠曲线方程： 由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计。 1.挠度w：截面形心在铅垂方向的位移。 向上为正。 2.转角θ：截面绕中性轴转过的角度。 逆钟向为正。 二、挠度和转角 挠度 转角 挠曲线 F 挠曲线方程： 3.挠度和转角的关系 转角方程： 挠曲线 挠度 转角 F 目录 一、挠曲线的近似微分方程 推导弯曲正应力时，得到： 忽略剪力对变形的影响 目录 第二节 挠曲线近似微分方程及其积分 由数学知识可知： 略去高阶小量，得 所以 w w x 挠曲线的近似微分方程为： 积分一次得转角方程为： 再积分一次得挠曲线方程为： 7-3 二、 用积分法求梁的弯曲变形 目录 积分常数C、D 由梁的弯矩方程分段点处的变形量确定。 梁的端点变形条件 梁的中段变形连续条件 －弹簧变形 目录 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。 解： （1）写出x截面的弯矩方程 （2）建立挠曲线近似微分方程并积分 积分一次： 再积分一次 例11-1 A B F 目录 w （3）由位移边界条件确定积分常数 代入求解 （4）确定转角方程和挠度方程 （5）确定最大转角和最大挠度 A B F 目录 w 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，ab。 解： （1）由梁整体平衡求支座反力： （2）建立弯矩方程 AC 段： CB 段： 例11-2 目录 （3）建立挠曲线近似微分方程并积分 AC 段： 目录 CB 段： 目录 （4）由边界条件确定积分常数 代入求解，得 位移边界条件 光滑连续条件 目录 （5）确定转角方程和挠度方程 AC 段： CB 段： 目录 （6）确定最大转角和最大挠度 令 得， 令 得， 目录 讨论： 梁的中点m的挠度： 力作用点C与梁的中点m越接近，两者相差越小 。若两点重合， 若C点靠近支座B，则两者相差最大，这时，近似的有 两者的相对误差不超过2.6%。 目录 设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的转角为 ，挠度为w， 若梁上只有第i个载荷单独作用，同一截面上转角为 ，挠度为 ， 由叠加原理知： 7-4 第三节 用叠加法求梁的弯曲变形 梁的刚度计算 即：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加法。 目录 一、用叠加法求弯曲变形 已知简支梁受力如图示，q、l、 (1)将梁上的载荷分解 解： 例11-3 目录 EI均为已知。求C 截面的挠度wC ；B截面 的转角?B。 （2）查表得各C截面的挠度和B截面的转角。 （3）用叠加法求和 目录 悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度wC和转角?C 。 (1)将梁上的载荷变成有表可查的情形 解: (2) 计算各C截面的挠度和转角。 (3)将结果叠加 例11-4 目录 简支梁受载如图。试求截面中点C处的挠度。 例11-5 本题可采用微元法求解 解： 取微元dx， dF =qdx，查表得 dx 目录 二、梁的刚度计算 1.刚度校核， 2.截面设计， 3.确定许用载荷： 三类刚度计算问题 刚度条件 最大变形小于或等于许用值 图11-9 例11-6图 例11-6 图示简支梁，受载荷F=40 kN、q=0.6 N/m共同作用。已知 l=8 m，截面为36a工字钢，材料弹性模量E=200 GPa， 试校核梁的刚度。 查表11-1， 梁的最大挠度位于跨中。 解：查型钢表， 梁刚度符合要求。 (1)查表得外伸梁B 处的转角为： 解： 例11-6 已知钢制圆轴右端受力为F＝20 kN，a＝l m，l＝2 m，E=206 GPa。轴承B处的许可转角?θ? =0.5°。根据刚度要求确定轴的直径d。 目 录 取 （2）由刚度条件确定轴的直径 目 录