导数的应用第五节 函数的极值与最值.ppt

一、函数的极值 二、函数的最值 第五节 函数的极值与最值 一、函数的极值 定义1 设函数 f (x)在(a, b)内有定义, x0?(a, b), 若?U(x0 , ?)? (a, b)使得 总有 f (x) f (x0), 则称 f (x0)为 f (x)的一个极大值； 总有 f (x) f (x0), 则称 f (x0)为 f (x)的一个极小值. 使 f (x)取得极大(小)值的点 x0 称为函数 f (x)的极大(小)值点, 简称为极值点.极大值与极小值统称为极值。 (3) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点. (1) 函数的极值是一个局部概念, 在区间上一个极大值有可能小于它的一个极小值, 如 f (x2) f (x5); (2) 函数在不可微但连续的点也可能取得极值, 如x = x4； (4)极值点不能取在区间的端点. 定理1：（极值点的必要条件） 为 的极值点 ,且 在 可导，则 如果 满足方程 的点，称为函数 f (x)的驻点。 驻点可能是极值点，也可能不是极值点。 能不能说极值点一定是驻点呢？ 也不能这么说。因为极值点，函数可能不可导。 只有那些导数存在的极值点才是驻点。 极值点的充分条件 定理 2 (极值第一判别法) 且在空心邻域 内有导数, (1) “左正右负” , (2) “左负右正” , 例1 求函数 解 定义域： (-?，+?)， 极大 极小 x =0，x =1是函数的连续但不可导点， 解 例2 定理3(第二充分条件) 设函数 y = f (x)在 x0处具有二阶导数, 且 f ?(x0) ? 0, f ?(x0) ? 0, 则 (1)当 f ?(x0) 0时,函数 f (x)在 x0处取得极大值； (2)当 f ?(x0) ? 0时,函数 f (x)在 x0处取得极小值. 证 只证明情形(1), (2)与之类似. 例3 求函数 f (x) = -x4 + 2x2 的极值. 解 定义域：(-?，+?)，该函数在定义域内二阶可导. 驻点为 x1=-1， x2 = 0，x3 = 1. 函数的极大值为 f (-1) = 1， f (1) = 1 极小值为 f(0) = 0. 解 例3 二、 函数的最值 求一个函数 y = f (x)在区间[a, b]上的最值, 只需将函数在该区间的不可导点的值、驻点的值以及端点的值进行比较即可. 例1 求函数 y = 2x3 + 3x2 – 12x +14的在[–3, 4]上的最大值与最小值. 解 计算 比较得 最值的实际问题 在讨论许多实际问题时, 可用下面两个结论. (1) f (x)在区间[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 若 f ?(x) 0, 则 f (a)是最小值, f (b)是最大值; 若 f ?(x) 0, 则 f (a)是最大值, f (b)是最小值. (2) f (x)在区间[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 在(a, b)内只有一个极值, 若该极值是极大值, 则它就是最大值; 若该极值是极小值, 则它就是最小值. 实际问题最值的求解步骤: (1)建立目标函数, 给出该函数的实际问题的定义域. (2)求驻点, 若目标函数在给出的定义域上只有唯一 驻点，且根据问题的性质就可以断定，该可导的目标 函数确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部 取得，则可以直接断定该点的函数值即为所求的最大 值或最小值. 例2 某汽车制造厂生产某种汽车，每小时生产x台的总成本为 独家经营，市场需求规律为x=75-3p (p为单价)问每小时生产多少台能获得最大利润？此时，单价是多少？ 解 收益函数为 利润函数为 L(x)=TR(x)-TC(x) 得 x =27(台) L最大(27)=224(万元)， 此时 , p=16(万元).