工程结构力学第七章 工程结构实用分析的基本理论——位移法 .ppt

第七章 工程结构实用分析的基本理论——位移法 第一节 位移法的基本概念 如图7-1所示，刚架 ACB 在竖向荷载 作用下发生变形，忽略杆件轴向变形， 则结点 C 只发生角位移 。取 为基本未知量。 B 图7-1 A C l/2 l/2 l 作用在一个结点上的杆端弯矩必须满足力矩平衡条件，因此 上式中各杆端弯矩都是的函数，所以可以求出 。在位移法中，我们将求杆端力所需的 称为关键位移，并作为位移法的基本未知量。每个关键位移所对应的方程就称为位移法方程。求出 以后，就可求出 AC 和 CB 各杆的变形，从而求出各杆的内力。 1.位移法的基本未知量 利用位移法分析结构内力时，首先要确定基本未知量，即确定结构的关键位移（如图7-1中的转角 ）。所谓关键位移，就是独立的位移。如图7-1所示结构的基本未知量就是转角 ，也叫做结点角位移。而对于一般的结构，基本未知量不仅包括结点角位移，还包括结点线位移。 图7-2 l l 因此，位移法中的基本体系是在原结构上增加约束构成一系列单跨超静定梁的组合体。而力法中的基本体系则是拆除多余约束而代以多余约束力的静定体系。 前面指出，位移法以结构的关键位移作为基本未知量，对于由直杆组成的平面杆系结构而言，若用附加约束限制关键位移的发生，则所有杆件均将转化为三类超静定杆件（即两端固定、一端固定一端铰支、一端固定一端滑动）和可能存在的静定部分，也就是说，结构变为三类超静定杆件和可能存在的静定部分的组合体。我们把三类基本杆件由单位支座位移引起的杆端力系数称为刚度系数，它仅与杆件的截面尺寸和材料性质有关，所以也称为形常数；把由荷截引起的杆端弯矩和杆端剪力称为固端弯矩和固端剪力，它仅与荷载形式有关，所以又称为载常数；将支座位移（转角、线位移）与荷载共同作用下杆端力的关系式，称为转角位移方程。相关量的正负号规定如下： （1）杆端转角、杆端横向相对线位移均以顺时针转向为正； （2）杆端弯矩以顺时针方向为正，杆端剪力以绕微段顺时针转向为正。 第二节 等截面直杆的刚度方程 一、由杆端位移求杆端弯矩 图7-3 图7-4a 1．计算简支梁在两端弯矩、作用下产生的杆端转角[图7-4（a）]。由单位荷载法，得 （7-1） 图7-3所示为一等截面杆件AB，截面惯性矩I为常数。已知端点A和B的角位移分别为 和 ，两端垂直杆轴的相对位移为 ，拟求杆端弯矩 和 。 因此，当两端有弯矩 、 作用，且两端有相对竖向位移 时，则杆端转角为 2．当简支梁两端有相对竖向位移 时[图7-4（b）]，杆端转角为 （7-2） 图7-4b （7-3） 解联立方程，得 （7-4） 此外，由平衡条件还可以求出杆端剪力为 将式（7-4）代入，得 （7-5） 将式（7-4）和（7-5）写成矩阵的形式，有 （7-6） 式（7-6）称为弯曲杆件的刚度方程。 式中 称为弯曲杆件的刚度矩阵，其中的系数称为刚度 系数。刚度系数是只与杆件的截面尺寸和材料性质有关的常数，所以又叫做形常数。 根据工程实际情况，下面先讨论几种特殊的情形。 （1）B端为固定支座的情况（图7-5） 设A端顺时针方向的转动 ， 而B端不动，在式（7-4）中令 则有 （7-7） （2）B端为铰支座的情况（图7-6） 在式（7-4）中令 ，则得 （7-8） 图7-5 图7-6 因为 故由式（7-5）得 再由式（7-4）得 （7-9） 对于三类基本杆件（即两端固定、一端固定一端铰支、一端固定一端滑动）,表7-1给出了几种常见荷载作用下的杆端弯矩和杆端剪力,即固端弯矩和固端剪力。因为它仅与荷载形式有关，故又称为载常数。 图7-7 二、由荷载求固端弯矩 （3）B端为滑动支座的情况（图7-7） 表7-1 等截面超静定杆的杆端弯矩和剪力 q 简 图 编 号 固 端 弯 矩 固 端 剪 力 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a b M 0 q 0 0 0 11 12 13 14 15 q q a b M 0 0 0 0 0 0 16 17 18 19 0 0 0 0 0 第三节 直接利用平衡条件建立位移法的基本方程 通过前一节的学习可知，对于基本结构在各种情况下的内力都是由转角位移方程确定的，因此