工程力学第十八章 动能定理.ppt

1.动能、功的计算 2.动能定理 第一节 动能的概念和计算 第二节 功的概念和计算 第三节 动能定理 本章重点 第十八章 动能定理 第四节 综合问题 第一节 动能的概念和计算 一、质点的动能 动能：物体机械运动强弱的一种度量。动能恒为正值。 质量为m的质点，速度为v， 质点的动能 在国际单位制中动能的单位为N·m（牛·米），即J（焦耳）。 动能的量纲dim Ek= [M] [L]2 [T]–2 二、质点系的动能 将各质点的动能相加 1.平动刚体的动能 2.定轴转动刚体的动能 例18-1 四连杆机构如图所示，OA=DB=AB=l。质量均为m。若OA绕O轴以匀角速度?转动，求系统的动能。 O D A B ? C ? vA vC vB 解: 杆OA和DB定轴转动，杆AB平动 Ek = EkOA + EkDB+ EkAB vC = vA = vB= l ? O D A B ? C ? vA vC vB 第二节 功的概念和计算 一、常力的功 在国际单位制中，功的单位为J（焦耳）。 功是标量，可为正、负或零。 功的量纲为 dim W = [M] [L] [T]–2·[L] = [M] [L]2 [T]–2 二、变力的功 三、常见力的功 1．重力的功 （2）质点系 （1）质点 2．弹性力的功 F= -k(r-ro) ro M F r r0 r2 r1 o 3．定轴转动刚体上力的功·力偶的功 式中，Mz可为力偶矩矢在轴上的投影 7、内力的功 δW = F1·dr1 + F2·dr2 O r2 r1 r12 F2 F1 讨论:1)对于刚体F1· dr12?0 ； δW=0。 2)对于一般质点系，dr12?0。 内力不作功. 内力作功. = F1· (dr1-dr2) = F1· dr12 8、约束反力的功.理想约束 dr=0 F⊥dr δW1= -δW2 ΣδW=0 当满足 约束反力作功之和为零的约束，称之为理想约束。 除动滑动摩擦约束约束外，静力学中介绍的约束均为理想约束。 A 例18-2 一刚度系数为k的弹簧，放在倾角为θ的斜面上。弹簧的 重物A上所有力的功的总和。摩擦力不计。 上端固定，下端与质量为m的物块A相连，图示为其平衡位置。 如使重物A从平衡位置向下沿斜面移动了距离s，试计算作用于 解：作出重物A的受力图； W F FN 重物W和弹力F作功 平衡时 例18-3 在半径为r的卷筒上，作用一力偶， ，其中 为转角，a和b为常数。卷筒上的绳索拉动斜面上的重物B。设重 当卷筒转过两圈时，试求作用于系统中所有力的功的总和。 物B的质量为m，它与斜面之间的滑动摩擦系数为f 。绳索质量不计。 解：分别求得各功： 摩擦力FS的功 所有力的功的总和 力偶M的功 重力W的功 W2 = - mg4πr sin30°= - mg2πr W FS 第三节 动能定理 一、质点的动能定理 质点动能定理的积分形式 积分 质点动能定理的微分形式 例18-4 质量为m的物体，自高处自由落下，落到下面有弹簧 支持的板上。设板和弹簧的质量都可忽略不计，弹簧的刚度系数 刚度系数为k。求弹簧的最大压缩量。 解 （1）以物体为研究对象，作功的力有重力和弹力。 （2）运动分析。物体在始、末位置，速度为零，动能为零。 （3）选用动能定理求弹簧的最大压缩量。 由动能定理 重力作功 弹簧力作功 解得 二、质点系的动能定理 质点系内任一质点，质量为mi，速度为vi，作用在该质点上 的力为Fi ， i=1，2，3，…，n 求和 交换求微分和求和次序， 质点系动能定理的积分形式： 质点系动能定理的微分形式： 3、动能定理为标量式，可求一个未知数，通常先求速度， 1、动能定理涉及v、F、S，已知足够量，可求其余。 2、在ΣWi中，一般含内力的功，但不含理想约束力的功。 再求导，求加速度。 注意： 例11-6 链条长l质量为m,展开放在光滑的桌面上。开始时链条 静止，并有长度为a 的一段下垂。求链条离开桌面时的速度。 解： 1、取系统为研究对象； 2、作作功的力； 4、用动能定理求运动量。 3、运动分析：链条上各点速度大小 相同； W1 W2 带入质点系动能定理 解得： 下垂段重力作功为 桌面段重力作功为 W1 W2 例11-8 在绞车的主动上作用一恒力偶M以提升重物，已知 轴承的摩擦和吊索的质量均不计。绞车初始时静止，求当重物 重物的质量为m；主动轴I和从动轴II连同安装在轴上的齿轮等 转动惯量分别为J1和J2，传动比 ；鼓轮的半径为R。 上升的距离为h时的速度v及加速度a。