导数的应用第四节 函数的单调性.ppt

第四节 函数的单调性 一、单调性的判别法 二、单调区间求法 我们已经会用初等数学的方法判断一些函数的单调性，但是这些方法使用范围狭小，并且有些需要借助某些特殊的技巧，不具有一般性. 那么是否存在判断函数单调性的简便且具有一般性的方法？ 一、单调性的判别法 对于一个定义在[a, b]上的可导函数 y= f (x)来讲, 如果 y= f (x)单调增加, 那么, 函数曲线上升, 从而 f ?(x) ? 0, 如图. 定理1 设函数 f (x)?C[a, b], 在(a, b)内可导, 若在(a, b)内 f ?(x) 0, 则函数 y= f (x)在[a, b]上单调增加,对应的曲线在此区间上升. 减少,对应的曲线在此区间下降. 若在(a, b)内 f ?(x) 0,则函数y= f (x)在[a, b]上单调 例1 试证x 0时， 证 令 0 f(0)=0 函数 f(x)在[0，+∞)上单调增加，对任何x 0，皆有 f (x) f (0) = 0 即 例2 证 则当x 0时, f (x) f (0), 即 x -ln(1+x) 0, 从而 x ln(1+x) . 所以函数f (x)在[0, +?)上单调增加. (x 0) 例3 证明 证: 设 , 则 故 在[0，+∞）上单调增加 , 从而 即 例4 证明方程 在区间(0,1)内有且仅有一个实根。 证明： 设 在区间[0,1] 上连续， 由零点定理， 使 即 的根存在。又 在区间[0，1]上单调增加。 的图形至多与 x轴有一个交点， 所以方程仅有唯一解。 二、单调区间的求法 有些函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调． 求法：用方程 f ?(x) = 0的根及 f ?(x)不存在的点来划分函数f (x)的定义区间, 然后判断区间内导数的符号. 例5 讨论函数 f (x)= e x – x – 1的单调性. f ?(x)= e x – 1 在(-?,0)内, f ?(x) 0, 所以函数f (x)在( – ? , 0]上单调减少； 所以函数f (x)在[0, +?)上单调增加. 在(0, +?)内 f ?(x) 0, 函数 f (x) = e x – x – 1的定义域为 (– ?, ? ) 解