导数的应用习题课4.ppt

* * * * * * 第三章 导数的应用习题课 (一) 微分中值定理 一、微分中值定理 1．罗尔定理 2．拉格朗日中值定理 在 上连续, 在 内可导, 且 , 在 上连续, 在 内可导, 则至少存在一 使 则至少存在一 使 三、两个定理之间的内在联系 拉格朗日中值定理 罗尔定理 二、判别 的方法 若 ，则 四、典型例题 定理的三个条件。 【例1】 若方程 有一个正根 , 证明方程 必有一个小于 的正根. 分析：考虑利用罗尔定理证明。 的左端函数, 其次 在题设的相应区间上满足罗尔 首先构造一个函数 使 ，其中 是欲证方程 证明: 设 由罗尔定理，存在 使 即 这说明 就是方程 的一个小于 的正根. 上连续且可导，由题设 易知多项式函数 在 【例2】证明方程 至少有一个正根， 其中 是任意常数。 零点定理, 考虑利用罗尔定理证明。因此构造函数 分析 如果令 ，由于在 范围内, 不能找到区间 ，使得 , 所以不能利用 由于要证明方程至少存在根，所以，要在 的范围内 找到一个闭区间 ，使得 。通过观察 的系数，不难发现 所以选取 ，因此，对 应用罗尔定理即可证明。 证明 ：令 取区间 显然 在 连续，在 内可导，且 即 应用罗尔定理知，存在 ，使得 构造函数 因此，方程 至少有一个 正根。 【例3】 设 在 上连续, 在 内可导, 且 . 证明存在一点 使 罗尔定理的条件，且从 中能得出 . 由于结论是两项和，故 为两个函数乘积的形式。将 分析 从结论 看等价于方程 有实根，但若利用零点定理，无法验证 ，所以 采用罗尔定理证明。 关键是找 , 使 在 上满足 换为 若令 则结论 为 证明: 令 且 , 故由罗尔定理知, 使 即 由已知条件知 在 上连续, 在 内可导， 第三章 导数的应用习题课 洛必达法则 1．洛必达法则： ① 函数 与 都趋向于0(或 ); ② 与 都存在,且 ; ③ 存在(或为无穷大). 那么 设在 的某一趋向下,函数 与 满足: 其它型： 转化为 “ ”型或“ ” 型 2．适用类型：未定式 基本型： “ ”型“ ” 型，运用洛比达法则求. 二、典型例题 【例1】计算 解: （ 型） 分析 当 分子分母均趋近于0, 为 型, 用洛必达法则计算. 【例2】计算 解： （ 型） 【例3】 计算 解： 等价无穷小代换 （ 型） 分析 当 分子分母均趋近于0, 为 型, 用洛必达法则计算. 【例4】计算 解：