导数与微分2.1导数的概念.ppt

* 第2章 导数与微分 首页 上页 下页 返回 结束 微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数) 英国数学家 Newton 导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 首页 上页 下页 返回 结束 2.1 导数的概念 引例 导数的定义 求导数举例 导数的几何意义 函数的可导性与连续性之间的关系 首页 上页 下页 返回 结束 1. 变速直线运动的瞬时速度 设描述质点运动位置的函数为 则 到 的平均速度为 而在 时刻的瞬时速度为 2.1.1 两个引例 首页 上页 下页 返回 结束 2. 切线的斜率 曲线 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 割线 M N 的斜率 切线 MT 的斜率 首页 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性: 瞬时速度 切线斜率 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变化率问题 首页 上页 下页 返回 结束 定义2-1 . 设函数 在点 存在, 并称此极限为 记作: 则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点 处可导, 在点 的导数. 2.1.2 导数的定义 首页 上页 下页 返回 结束 和 注意 在导数定义中，只要在自变量的某一变化过 程中， ，就有 函数f(x)在点x0处可导有时也说成f(x)在点x0处具有 导数或导数存在． 导数的定义式也可取不同的形式，常见的有 运动质点的位置函数 在 时刻的瞬时速度 曲线 在 M 点处的切线斜率 说明: 在经济学中, 边际成本率, 边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数. 首页 上页 下页 返回 结束 首页 上页 下页 返回 结束 在实际中，需要讨论各种具有不同意义的变量的变化 “快慢”问题，反映在数学上就是所谓函数的变化率问 题．因此，导数的实质就是函数的变化率． 如果极限 不存在，则称函数 y=f (x)在点x0处不可导． 与左右极限的概念类似，也有左右导数的概念． 如果极限 存在，则称此极限 为f (x)在点x0处的左导数，记作 ，即 首页 上页 下页 返回 结束 类似定义右导数 由极限存在的充要条件知： = ． 若函数在开区间 I 内每点都可导, 此时导数值构成的新函数称为导函数. 记作: 就称函数在 I 内可导. 均可. 首页 上页 下页 返回 结束 即 显然，函数f (x)在点x0处的导数 就是导函数f ?(x) 或 在点x=x0处的函数值，即 首页 上页 下页 返回 结束 例2-1 已知 ，求 解 首页 上页 下页 返回 结束 例2-2 求函数 (C 为常数) 的导数. 解 即 这就是说，常数的导数等于零． 2.1.3 求导数举例 例2-3 求? 的导数并求 解 首页 上页 下页 返回 结束 ? 例2-4 求函数f (x)= x n (n为正整数) 的导数． 解 即 (x n)?=nx n-1 首页 上页 下页 返回 结束 说明： 对一般幂函数 ( 为常数) 例如， （以后将证明） 首页 上页 下页 返回 结束 例2-5. 求函数 的导数. 解: 则 即 类似可证得 首页 上页 下页 返回 结束 例2-6 求函数 的导数． 解 即 特殊地， 首页 上页 下页 返回 结束 例2-7 求函数 在 x = 0处不可导. 解 在 x = 0处的导数. 2.1.4 导数的几何意义 在点 的切线斜率. 即 函数y=f(x)在点x0处的导数f ?(x0)在几何上表示曲曲线 首页 上页 下页 返回 结束 若 切线与 x 轴平行, 若 切线与 x 轴垂直 . 曲线在点 处的 切线方程: 法线方程: *