导数与微分第一节 导数概念.ppt

第三章 导数与微分 第二章介绍了自变量的变化对函数变化趋势的影响. 本章进一步研究函数相对于自变量变化的快慢程度, 即变化率问题, 从中抽象出导数的概念, 导出计算公式与法则, 这就是所说的微分法, 它是微积分的重要组成部分. 第一节 导数概念 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 五、可导与连续的关系 在实际问题中经常会遇到函数增量与自变量增量之比的问题，如曲线在某点切线的斜率、变速直线运动的瞬时速度、经济管理中的边际成本等，如何定义和求解这类问题呢？ 四、左导数、右导数 1. 切线问题 设曲线 y = f (x) 的图形如图, 曲线上一定点, 在曲线上另取一点 N(x0+?x, y0+?y), 作割线 MN, 当点 N 沿曲线趋于点 M 时, 如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋于极限位置 MT, 直线MT 就称为曲线 y = f (x) 在点 M 处的切线. ? T y = f (x) O x y x0 ? M N x0+ ?x ?y 点 M (x 0, y 0) 为 作割线 MN, 一、引例 MN 的斜率为 其中? 为割线 MN 的倾角. 存在, 则此极限 k 就是切线 MT 的斜率. 如果当点 N 沿曲线趋于点 M 时, 有 ?x ? 0 , 上式的极限存在, 设为 k, 即 2. 变速直线运动的瞬时速度 设s 表示一物体从某个时刻开始到时刻 t 作直线运 当物体作匀速运动时,它的速度不随时间而改变,即 现在研究物体在 t = t 0时的瞬时速度. 动所经过的路程, 则 s = s (t). 当时间 t 由 t 0 改变到 t 0+?t 时, 物体在这一时间段内经过的路程为 ?s = s (t 0+?t) – s (t 0). 当物体做变速运动时, 它的速度随时间而改变, 表示从 t 0 到 t 0+?t 这一时间段内的平均速度 当 ?t 很小时, 可以用 近似表示物体在 t 0 时刻的速度. 当?t ?0时如果极限 存在, 则称此极限为物体在时刻 t 0 的瞬时速度, 此时 即 二、导数的定义 上述两个实例的具体含义是不相同的, 但从抽象 此类极限就是函数的导数. 的数量关系来看, 它们的实质是一样的, 都归结为计 算函数的增量与自变量增量的比, 当自变量增量趋 于0时的极限, 即 定义 的极限存在, 则称函数 y = f (x) 在 x 0 处可导, 并称此极限为函数 y = f (x) 在点 x 0 处 也可记作 如果当 ?x ? 0时, 当自变量 x 在 x 0 处取得增量 ?x (点 x 0 + ?x 仍在该邻域内)时, 相应的, 函数取得增量 ?y = f (x 0 + ?x) ? f (x 0). 的导数, 记为 f ?(x 0). 即 设函数 y = f (x)在点 x 0 的某个邻域内有定义. 导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有 如果极限 不存在, 则称函数 y = f (x) 在点 x 0 处不可导. ?x ? 0 时, 也称函数 y = f (x) 在 x 0 处的导数 是无穷大, 或说 f (x) 在点 x 0 处有无穷导数. 如果不可导的原因是由于 如果函数 y = f (x) 在开区间 I 内每一点处都可导, x ? I, 都对应着 f (x) 的一个确定的导数值, 这样就 就称函数 f (x) 在开区间 I 内可导. 这时对于任意的 构成了一个新的函数, 这个函数称为原来函数的 导函数(简称导数), 记作 y?, f ?(x), 对于 y = f (x), f ?(x 0)与 f ?(x)之间的关系: 是连续可导的. 导函数的定义为 导数 f ?(x 0)就是导函数 f ?(x)在点 x = x 0处的函数值, 即 如果 f ?(x) 为连续函数, 则说 f (x) 函数 f (x) 在点 x 0 处的 （1）求增量 （2）算比值 （3）求极限 由定义，得出求导数步骤: 例1 求函数 f (x) = C（C为常数）的导数. 即 (C)? = 0. 例2 求函数 f (x) = x n (n?N+)的导数. 即 (x n)?= nx n-1. 例如, 当 x? 0 时