工程力学第8章 梁弯曲时的强度计算.ppt

每段梁的剪力图均为 水平直线 B A C D 200 115 1265 F F FA FB 2 3 1 23.6kN 1.7kN 27kN + AC段 DB段 CD段 每段梁的弯矩图均为斜直线，且梁上无集中力偶. B A C D 200 115 1265 F F FA FB 2 3 1 4.72kN·m 3.11kN·m + 例题 作梁的内力图. 3m 4m A B C D E 4m 4m FA FB F1=2kN q=1kN/m M=10kN·m F2=2kN 解：(1) 支座反力为 将梁分为AC、CD、 DB、BE 四段. (2) 剪力图 7kN 1kN + + 3kN 3kN 2kN x=5m AC段 向下斜的直线 CD段 向下斜的直线 DB段 水平直线 EB段 水平直线 F点剪力为零,令其距 A截面的距离为x x = 5m 7kN 1kN + + 3kN 3kN 2kN x=5m A C D E B F (3) 弯矩图 AC段 3m 4m A B C D E 4m 4m FA FB F1=2kN q=1kN/m M=10kN·m F2=2kN 20kN·m 16kN·m 6 6kN·m + 20.5kN·m CD段 DB段 BE段 A C D B E F F x=5m 8.2.4 按叠加原理作弯矩图 叠加原理：当梁在载荷作用下发生微小变形时，其跨长的改变可以略去不计，因此在求梁的约束力、剪力和弯矩时，均可按其原始尺寸进行计算，而所得的结果均与梁上荷载成线性关系。在这种情况下，当梁上受几种荷载共同作用时，某一横截面上的弯矩就等于梁在各项荷载单独作用下同一横截面上弯矩的代数和。 8.3 横截面的几何性质 8.3.1 截面的静矩与形心 1.截面图形对z轴的静矩Sz 截面图形对y轴的静矩： 说明： ◆ 静矩可正，可负，也可能等于零； ◆ 静矩单位m3。 ◆ 截面图形的静矩是对某轴而言的， 轴不同，静矩就不同 ； 2.截面图形的形心 说明： ◆ 若某坐标轴通过截面形心，则截面图形对该轴的静矩必为零 ； ◆若截面图形对某坐标轴的静矩为零，则该坐标轴必通过截面图形的形心; ◆截面图形对形心轴的静矩等于零。 3.组合截面图形的静矩 组合截面图形对某轴的静矩就等于其各组成部分图形对同一轴静矩的代数和。 其中Ai为其中第i个组成部分图形的面积； 为其中第i个组成部分图形的形心坐标。 由几个简单图形组成的截面称为组合截面。 8.3.2 截面的惯性矩 截面图形对y轴惯性矩 截面图形对z轴惯性矩 说明： ◆ 截面图形的惯性矩是对某轴而言的，轴不同，惯性矩就不同 ； ◆ 惯性矩值恒为正 ； ◆ 惯性矩单位为m4 。 1.矩形截面 试计算图示矩形截面对其对称轴z轴和y轴的惯性矩。 (1)计算Iz 取平行于z轴、高度为dy的狭长矩形为微元面积dA (2)计算Iy 同样的方法 2.圆形与圆环形截面 计算图示圆形截面对其形心轴的惯性矩。 圆形截面对圆心的极惯性矩： 由于圆形是中心对称图形，且 则 计算图示圆环形截面对其形心轴的惯性矩。 圆环形截面对圆心的极惯性矩： 由于圆环形是中心对称图形，且 则 其中 为圆环的内外径比。 8.3.3 平行移轴定理 y,z ￣ 任意一对坐标轴， C ￣ 截面形心 yC,zC￣通过图形形心的一对正交坐标轴，为形心轴。 图形对zC轴惯性矩为 图形对z轴的惯性矩为 又 故得 同理可得 zC轴为形心轴，则有 可得 惯性矩的平行移轴公式 [例 ]计算图示T字形截面对其形心轴zC的惯性矩 。 该截面图形可视为由矩形1、2组合而成 解:(1)确定形心C位置 截面关于y轴对称，所以形心C必在对称轴y轴上，故只需求出形心的y坐标即可。 (2)分别计算矩形1、2对zC轴的惯性矩 (3) 计算整个图形对zC轴的惯性矩 8.4 纯弯曲时梁的正应力 在某些梁段上，剪力为零，弯矩为常数，这种情况称为纯弯曲 ; 而在一般情况下，剪力与弯矩同时存在的情形，则称为横力弯曲。 图中CD段剪力为零，弯矩为常数，这种情况即为纯弯曲 ；而AC、DB段剪力与弯矩同时存在，则为横力弯曲。 8.4.1 纯弯曲梁横截面上的的正应力 8.4.2 弯曲正应力一般公式 研究纯弯曲梁，从变形几何条件、物理条件以及静力平衡条件三个方面进行分析。 1. 变形几何关系 现象： ◆横向线在变形后依然为直线，只是旋转了一个角度，并仍然与弯曲后的纵向线正交； ◆纵向线弯成弧线，其中位于梁上部的纵向线缩短，位于梁下部的纵向线伸长。 M M 提出假设： ◆梁的横截面在变形后仍保持为平面，并和弯曲后的纵向线正交。这称为弯曲变形的平面假设。 ◆梁