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第三章 克里格插值;内容
1. 克里格法概述
2. 简单克里格
3. 普通克里格
4. 泛克里格
5. 协同克里格
6. 指示克里格
;一、概述;1. 克里格法的定义
矿业定义:根据一个块段(盘区)内外的若干信息样品的某特征值(品位)数据,对该块段(盘区)品位(特征值)作出一种线性、无偏、最小估计方差的估计方法。
数学定义:一种求最优、线性、无偏内插估计量的方法。
具体说是:考虑了信息样品的形状、大小及其待估块段相互之间的空间分布位置等几何特征,以及变量的空间结构信息后,为了达到线性、无偏、最小估计方差的估计,而对每个样品值分别赋予一定的权系数,最后用加权平均来对待估块段的未知量进行估计的方法。?“特定的滑动平均”
;2. 克里格法的种类;3. 克里格法的使用信息及应用条件
信息: ① 一组数据;
② 空间构形(坐标);
③ 结构信息(变差函数模型)。
条件: ① 二阶平稳(本征)假设、线性估计量——普通克里格
② 平稳条件不满足,仍采用线性估计量——泛克里格
③ 信息不仅包括二阶矩知识,还包括更多知识(二维分
布)——析取克里格;二、简单克里格法; 1. 问题的提出
设Z(x)为点承载区域化变量,且是二阶平稳(或本征)的。今要对以x0为中心的盘区V(x0)的平均值 (简记为ZV)进行估计。
; 2. 线性估计量的构造
Zi (i=1,2,… ,n)是一组离散的信息样品数据,它们定义在点承载xi (i=1,2,… ,n)上的或是确定在以xi 点为中心的承载vi (i=1,2,… ,n)上的平均值Zvi (xi) (简记Zi )。且这n个承载vi (i=1,2,… ,n)既不同于V,又各不相同。
其线性估计量为:
它是n个数值的线性组合。
克里格估值的原则:就是在保证这个估值ZV*是无偏的,且估计方差最小的前提下,求出n个权系数λi 。在这样的条件下求得的λi 所构成的估计量ZV*称为ZV的克里格估计量,记为ZK* 。这时的估计方差称为克里格方差,记为σK*。
当Z (x)的期望已知时:为简单克里格;未知时:为普通克里格 ; 3. 简单克里格方程组和简单克里格方差(E(Z(x)=m 已知)
由于Z (x)的期望为已知,令:Y(x)=Z(x)-m 则:
E[Y(x)]=E[Z(x)-m]=E[Z(x)]-m=0
其协方差函数为: E[Y(x) · Y( y) ]=C(x, y )
对ZV的估计转化为对YV* 的估计,且有:
所用的估计量为:
只要求得YV的估计值YV* ,就能得到ZV的估计值ZV * 。; 显然: YV*是YV的无偏估计量,且不需要任何条件。因为:
为了求出λi,使得 最小,首先需求出 的表达式:
所以: (1)
其中 表示协方差函数在待估域V上的平均值。; 为了使 达到最小,按照求极值原理,将前述的 公式(1)对诸λi求偏导数,并令其为0,则有:
(2)
于是得到简单克里格方程组:
从这个方程组中解出λi (i=1,2,… ,n),即为所求的简单克里格系数,它必定满足最小方差无偏估计的要求。
将克里格方程组两端均乘以λi ,并对i 从1到n求和,则有:
(3)
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