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钉子板上的多边形
【教学内容】：
苏教版《义务教育教科书 数学 五年级（上册）》P108—109
【教学目标】：
1、经历画图、填表、分析数据、探索规律的过程，发现在钉子板上围出的多边形与它的边所经过的钉子数，以及多边形内部的钉子数的关系，会用含有字母的式子来表示发现的规律。
2、学生在探索规律、发现规律和表达规律的过程中，进一步感受数学抽象的意义，培养比较、分析和简单推理的能力，增强发现问题、提出问题的意识，积累数学活动经验。
3、初步感悟通过固定某些变量的值来探求其余变量的变化规律的科学思维方法。能类比迁移探求问题的方法，尝试拓展研究同类新问题。
【教学重点】：
发现多边形的面积与边上钉子数和多边形中间钉子数之间的规律
【教学难点】：
类比推导出一般规律
【教学准备】：
作业纸，多媒体课件
【教学过程】：
一、设疑激趣，引出猜想：
1、课前，同学们用橡皮筋在钉子板上围了一些多边形，我们一起来看一看。（指名上前投影交流）
老师也在钉子板上围了几个多边形（出示课件）。
如果这每两个钉子之间的距离是1厘米，那个小方格的面积就是1平方厘米。请大家数一数、算一算，老师围的这几个多边形的面积分别是多少呢？（指名回答）
2、同学们，钉子板上的多边形形状各异，面积有大有小，今天这一节课，我们就一起针对钉子板上的多边形来进行探究（板书课题）。
3、你们觉得钉子板上这些多边形的面积跟什么有关？
是否真如我们的猜想，多边形的面积和边上的钉子数有关？如果真的有，会有怎样的关系呢？带着这样的猜想和疑问，进入我们今天的探究。
探究规律，我们一般的步骤是怎么样的？先从简单入手!
二、初探规律，感受矛盾：
1、这里有四个比较简单的多边形，请同学们数一数每个图形边上的钉子数，算一算或数一数每个多边形的面积，完成表格（出示第一组图形）。
2、（交流数据），说说，你发现了什么？
3、原来，“多边形边上的钉子数÷2”就是多边形的面积！
规律是否真的这么简单呢？我们回过头再刚刚刚才那些多边形（出示刚才的钉子板图），请大家很快数一数这些图形边上的钉子数，它们都符合刚才发现的规律么？（带着学生一起数）
这中间有符合的，也有不符合的，看来我们还得再来研究研究。
三、二探规律，感知变量：
1、老师把这几个钉子板上的多边形也画在点子图中，这几个红色的多边形都符合刚才的这条规律，而蓝色的多边形不符合。请同学们再仔细观察，看看你能发现什么？（小组交流）
2、红色的多边形图形内都只有一枚钉子，而蓝色不是。（课件演示）
3、看来，钉子板上多边形的面积不仅仅和边上的钉子数有关，还和图形内的钉子数有关。刚才我们研究的这一组图形，它们的相同之处就在于，它们图形中间都只有一枚钉子。（完善表格）
4、那么，是否所有图形内只有一枚钉子的多边形的面积都是边上钉子数的一半呢？是的，我们还需要来验证！怎么验证？每个同学在点子图上画一个多边形（内部只有一个点），然后看看多边形的面积是否是边上钉子数的一半。（学生操作，指名交流）
5、通过的观察发现，举例验证，发现了一条规律。如果我们用字母b表示多边形内的钉子数，用字母n表示多边形边上的钉子数，多边形的面积S可以怎么表示？（板书：当b＝1时，S＝n÷2）
四、再探规律，体验方法：
1、同学们，刚才我们从一组简单的多边形中发现了规律，当我们以为钉子板上多边形的面积就是边上钉子数的一半时，我们突然发现了很多反例，进而触动我们再次回归最初，寻找图形中的异同，发现原来钉子板上多边形的面积不仅和边上的钉子数有关，还和图形中间的钉子数有关。当图形中间只有一枚钉子时，多边形的面积就是？研究到这儿，你觉得今天的这节课可以画句号了么？我们还要怎样研究下去？
2、是的，当多边形中间有两枚钉子，三枚钉子，四枚钉子……的时候呢？会不会也有规律呢？我们先研究什么？
3、（出示两个多边形）这两个多边形内都是两枚钉子，我们一起来数数边上的钉子数和它们的面积。（看屏幕一起数）
3、仅有两个图形还不足以让我们发现规律，我们还需要更多的例子，怎么办？要画怎样的多边形？你会画么？请同学们在点子图上画一画。（学生画，投影交流，完成记录）
4、请同学们仔细观察这张表格中的数据，你能发现什么？（小组讨论）
5、你们会用字母来表示发现的规律么？（板书：当b＝2时，S＝n÷2＋1）
是不是所有图形内有2枚钉子的多边形都有这样的规律呢？看一看，数一数，算一算，你们画的图形中有反例么？
五、放手探究，体味本质：
1、看来，我们把多边形根据图形内的钉子数分类，依次去探究，能发现钉子板上多边形中隐藏的奥秘。接下来，你还想怎么研究，发现更多的奥秘？
2、是的，我们可以继续研究图形内有三枚钉子的情况，还有四枚钉子的情况。下面，就让我们小组合作，来继续我们这节课的探究
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