几种常见的二次曲面.pptxVIP

第四节几种常见的二次曲面一、曲面方程的概念二、柱面三、锥面四、旋转曲面 五、二次曲面一、曲面方程的概念二次曲面方程的定义：三元二次方程表示的图形称为二次曲面.以下给出几例常用的二次曲面.例1. 求动点到定点距离为 R 的轨迹方程. 依题意解: 设轨迹上动点为即故所求方程为特别,当M0在原点时,球面方程为表示上(下)球面 .例2. 研究方程表示怎样的曲面. 解: 配方得此方程表示:球心为 半径为的球面.说明:如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )其图形可能是都可通过配方研究它的图形., 或点, 或虚轨迹.一个球面二、柱面定义.平行定方向的动直线 l沿定曲线C 移动的C 叫做准线, l 叫做母线.产生的曲面叫做柱面,一般地,在三维空间柱面,母线平行于 z 轴;准线 xoy 面上的曲线 l1.在 xoy 面上，表示曲线C, 在C上任取一点 过此点作平行 z 轴的直线 l ,对任意 z ,的坐标也满足方程沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面,所以为柱面.其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间表示柱面柱面,母线平行于 x 轴;准线 yoz 面上的曲线 l2. 柱面,母线平行于 y 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.圆柱面? 表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线.表示母线平行于? z 轴的椭圆柱面.?表示母线平行于 z 轴的平面.(且 z 轴在平面上)三、锥面 一条动直线通过一定点且沿空间一条固定曲线移动所产生的曲面称为锥面。动直线称为母线，定点称为顶点，固定曲线称为准线。例3解四、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转定义. 一条平面曲线一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴 .例如 :建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:给定 yoz 面上曲线 C: 若点则有当绕 z 轴旋转时,该点转到则有故旋转曲面方程为思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？例4. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方例5. 求坐标面 xoz 上的双曲线分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转所成曲面方程为绕 z 轴旋转所成曲面方程为这两种曲面都叫做旋转双曲面.五、二次曲面三元二次方程 (二次项系数不全为 0 )的图形通常为二次曲面. 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法.平面被称为一次曲面．我们仅研究标准二次曲面及其图形.( p , q 同号)研究方法___平面截割法（截痕法）：即：用坐标面和平行于坐标面的一族平面与曲面相截，由截出的一族交线（即截痕）的形状，加以综合，从而了解曲面的全貌．1. 椭球面 zoyxc(1)范围：ba(2)与坐标面的交线：椭圆为正数)与的交线为椭圆：(3) 截痕:的截痕及同样也为椭圆. zoyx椭球面c截痕法用z = z1截曲面b用y = y1截曲面用x = x1截曲面a(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面;当a＝b＝c 时为球面.与平面 的交线为椭圆.当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上.z设 1）用坐标面 与曲面相截截得一点，即坐标原点yOx( p , q 同号)2. 抛物面(1) 椭圆抛物面用截痕法讨论：图形位于xOy平面的上方，并关于yOz及zOx坐标面对称.原点也叫椭圆抛物面的顶点.它的轴平行于 轴z与平面 的交线为抛物线.顶点（3）用坐标面 ， 与曲面相截 2）用坐标面 与曲面相截同理当 时可类似讨论.yOx截得抛物线均可得抛物线.zzoyxyox( p , q 同号)(1) 椭圆抛物面椭圆抛物面的图形如下：特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.设(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）( p , q 同号)与三个坐标面的交线一对直线开口指z轴正向开口指z轴负向抛物线，其顶点均为原点，对称轴同叫做双抛物面的主抛物线.与平行于坐标面平面的交线zoyx与平面 z = h ( h ≠ 0)的交线为双曲线.为双曲线,其顶点为 虚轴与x轴平行为双曲线,其顶点为 虚轴与y轴平行双曲线顶点分别在两主抛物线上!z设oyx(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）( p , q 0)用截痕法讨论：图形如下：与平面 的交线为抛物线.z(2) 双曲抛物面（