17.刀尖上的行走—微元分析.pdfVIP

高中物理老师们对微元法应该是比较熟悉了，在解相对运动速度关系的时候也是一个很好 的工具。例如下面这个题： 如图所示，细绳一端固定在天花板上的O 点，另一端穿过一张CD 光盘的 中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边 沿．现将CD 光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v 匀速移动，移动过程中， CD 光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ 时，小球上 升的速度大小为（ ） A ．vsinθ B ．vcosθ C ．vtanθ D ．vcotθ 如果用相对运动关系，很多学生是没法准确理清楚的。其实有一次有学生问我这个题，我 以前是做过的，但是我在没有好好思考的情况下也是做错了。说明要找好这个关系也是不容易 的。如果用微元法就比较直观，俗称没病走两步，我们也让它走两步看看。 如图我们可以轻而易举地看出， ， ，而DC 就表示了上面一段绳子的伸长，那 么下面绳子的缩短速度，或者说小球的上升速度就是 ，于是 选 A。这是十分简洁而直观的，关于更多微元法解决此类问题的例 子，可以参照陈恩谱老师所写的《微元法处理关联速度类问题》一 文，在几乎每个教师群的群文件里都会有下载。 我们今天要讨论的问题，是关于在微元法使用当中要注意的一些问题，有名言说：“自由 的同时带来的是永恒的警惕”微元法也是这样，在使用过程中要时刻注意各个小量之间的关系， 不能舍去不该舍得，不能添上不该添加的。口说无凭，我们来看沈晨老师所著《更高更妙的物 理》上的一道习题： 分析：这题的最主要工作是要求出在此引力场中引力势能的表达式。当然题目的解析也是 这样做的，但是由于高妙一贯爱用微元法，这里我们先看看不用微积分而用微元法的参考解答 过程。 于是最终得出引力势能公式： 引力势能公式做出来了，接下来就是用能量关系直接证明题目说的两个速度了： 请大家一定要一步一步看明白上面所有的运算再向下读，不然就不能体会到这篇文章的意 义了。看完之后是不是也觉得答案说的挺有道理的？但如果对微积分熟悉一些的老师可能在脑 子里面就会发现不对，因为如果我们将力沿着路径积分将得到： 正负号根据物理意义去掉的话，那么引力势能公式就是 ，暂时不说正负号的 问题，为什么用微积分做和微元法做有个二倍差距，是哪里出了问题呢，你能发现吗？ 下一页揭晓答案，现在大家可以再次翻上去找找茬。。。。。。 问题出现在了这一步变换： 更加具体的说来是括号内的这个变换：把 变为了 再具体一点就是把 变为了 ，这样的变换出了什么问题呢？为了让大家看得 更加清楚我们设 ， 。 答案做了一个什么变换呢，答案将 变为了 ，也就是将 变为 。 看起来是不是也没有问题？ ，由于 ，这个变换应该是对的，但是在这里 真的是对的吗？这就是我们今天要讨论的核心问题，我们在做小量舍去和变换的时候要保持永 远的警惕，如同走在刀尖上一般。我们最放心的还是恒等变换，我们来试着做恒等变换看看。 现在我们可以看看了，看 与 是什么关系？是不是可以看出前者是 后者的 倍？至此我们知道微元法和微积分的二倍差距是哪里来的了。这一个变换 丢掉了一半的数值，有人可能还是想不到这一半是怎么丢掉的。我们再接着解释一下，原因是 在式子 中 与 ，已经足够接近了，差值非常小，现在再把 变为 ，虽然也是 一个变化很小的变换，换言之， 距离 也非常近，但是并没有近到和 相比可以 忽略的地步，反而是有一个二倍关系存在。 例如现在我们做个数值运算，设 ， ，那么 ，