小波分析全章节讲解.pptxVIP

一、小波的发展 小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。 小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要 经验的建立了反演公式，当时未能得 到数学家的认可。 小波分析的应用是与小波分析的 理论研究紧密地结合在一起地。 小波分析的应用领域十分广泛，它包括： 数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如： 在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。 在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。 在图象处理方面的图象压缩、分类、 识别与诊断，去污等。 在医学成像方面的减少B超、CT、 核磁共振成像的时间，提高分辨率等。 傅里叶（Fourier)分析是数字信号处理的基础，也是现代信号处理的出发点。它将信号分析从时间域变换到了频率域。泛函分析是20世纪初开始发展起 来的一个重要的数学分支，它是 以集合论为基础的现代分析手段， 它用更加抽象的概念来描述熟知 的对象。小波理论是建立在傅里叶分析和泛函分析基础之上的视频分析工具之一。小波变换是对傅里叶变换与短时傅里叶变换的发展，为信号分析、图像处理、量子物理及其他非线性科学的研究域带来革命的影响。二、傅里叶分析(连续)1、傅里叶变换（1）傅里叶（FT）定义 （1.1） （1.2） 其中，式（1.2）称为傅里叶反变换（IFT) (2)FT的性质 1.对偶性 利用对偶性可以方便地得到一些函数的傅里叶变换或反变换公式，即 2.位移 时域位移将导致信号频谱增加一个附加相位，但是幅频特性不变，即3.卷积 卷积特性分为时域卷积和频域卷积，即4.Parseval定理（内积定理） 它表明两个信号在时域和频域中的内积之间的关系，即 特别当 时，有 上式实际上给出了信号的能量关系。在时域和频域的总能量是相等的，故也称为能量守恒定理。 5.尺度伸缩 在小波分析中，有着大量涉及信号在时域和频域的伸缩和变尺度分析。信号在一个域内的伸缩会导致在另一个域的相反方向上的伸缩。傅里叶变换(离散)时域离散信号也可以根据是否为周期性，分为离散时间序列傅里叶变换（DTFT）和离散傅里叶变换（DFT）。1.DTFT 2.DFT三、泛函分析1.函数空间 （1）线性空间 例：平方可积函数空间 （2）赋范线性空间 例： （3）巴拿赫（Banach)空间（4）希尔伯特（Hilbert）空间 例1：对于线性空间 ， 定义内积为例2：在n维欧氏空间 中， ，定义内积为 2.基底及展开（1）由函数序列张成的空间 设 为函数序列，令集合 为即 为函数序列 的所有可能的线性组合构成的集合，则称 为序列 张成的线性空间，简记为（2）基底 若序列 线性无关，则 ，式中的系数 的取值是惟一的。此时，就称 为空间 的一组基底。（3）正交（直交） 设x,y为内积空间中的两个元素， 若内积 ，则称x,y 相 互正交，简记为 。（4）规范正交基 若内积空间 中的基底 满足 则称 为 中的规范正交基（标准正交基）。 故 都可以展开成为 并且有Parseval等式，即（5）双正交基 对于不满足规范正交条件的基底 来说，如果存在另一组对偶基底 使得 对应的傅里叶展开式为 规范正交性存在于原基底与对偶基底之间， 展开式也相应的由原基底和对偶基底构成， 这种基称为双正交基，与互为对偶基底。（6）框架 设H为Hilbert空间， 为H中的一个函数序列，若 ，都存在实数A,B使得 则称为框架，其中A,B分别称为框架的上、下界。 当A=B时，此框架称为紧框架； 尤其当A=B=1时，此紧框架就变 为规范正交基。3.从泛函角度描述傅里叶变换 （1）用内积表示傅里叶变换 内积空间中的函数，其傅里叶变换可用内积表示为 （2）用基底表示函数的展开三、窗口傅里叶变换（傅里叶→小波） 由于传统傅里叶分析只适用于平稳信号，在进行非平稳信号的分析时通常采用时频处理方法，它将一维时域信号分解为二维时域—频域联合分布表示。传统傅里叶分析不适用于时变信号的分析，但是可以在时域和频域内进行加窗处理，窗内的信号认为是准平稳的，对它们可以采用平稳信号的分析方法，如频谱分析和功率谱分析。这就是窗口傅里叶变换。 为了弥补Fourier变换不能时空定位的不足，工程技术领域长期以来一直采用D.Gabor