二阶线性常微分方程的幂级数解法.pptxVIP

第六章 二阶线性常微分方程 的幂级数解法 ;数学物理问题中的二阶线性常微分方程的标准形式为 ;超几何方程;勒让德方程;要判断 z = ∞ 是否为方程的奇点，作自变量变换;二阶线性齐次常微分方程;和 不含 t 负幂项;将 代入方程得;若 p(z) 和 q(z) 在圆 内单值解析，则在此圆内常微分方程初值问题 (c0，c1 为任意常数) 有唯一的一个解 w(z) ，且 w(z) 在这个圆内单值解析。;∴ 均可展开为幂级数：;考察各幂次项系数; 例题;zk 同次幂合并后，得;偶次幂系数为;引进记号;任意给定初始条件 c0 和 c1，就可得到一个特解。;求解过程中，ck+2 只与ck 有关，而与ck+1 无关， w1(z) 是偶函数，w2(z)是奇函数。 对于 z → -z 变换， 勒让德方程的形式不变，故 w(-z) 也是方程的解， 且 w(z)+w(-z) 是偶函数，w(z)-w(-z) 是奇函数。;在常点邻域内求级数解的一般步骤; 例题;考察同次幂系数;同理; 例题;而 时， 故 ;∵ 和 线性无关 ∴ 朗斯基行列式 ;所以， 和 在 G2 内仍线性无关。; 若 z0 是方程 的奇点，则在 p(z) 和 q(z) 都解析的环域 内，方程的线性无关解是; 当 或 不是整数，或 ，方程的解均为多值函数，z0 为其支点。将 和 代入方程，难以求出系数的普遍公式（无穷多正幂项与负幂项），当级数解中只有有限个负幂项，总可以调整 值，使级数中没有负幂项。;;z = 0 和 z = 1均为超几何方程 的正则奇点。;z = 1 和 z = -1均为勒让德方程 的正则奇点。;要判断 z = ∞ 是否为方程的奇点，作自变量变换 （前面已推得）方程化为;判断 z = ∞是否为超几何方程和勒让德方程的正则奇点 。;勒让德方程：;;;约去 ，整理得;获得指标，其中 和 （规定 ）;★ 若 ，第二特解必含对数项;补充讨论：;对于 ①， 一定含有对数项； 对于 ②， 同时依赖于 和 ， 有两项??一 项正比于 ，一项正比于 ，而此时 可取任意值， 取 。;补充证明：;;两端同除以 得 ; 例题;指标方程 为;所以;令 A = 1 ，代入 得;可知 是方程的奇点。; 讨论：贝塞耳方程在 的邻域 内的解;∴ 时 时 任意;反复使用递推关系：;用 代入系数通式，可得;用 代入系数通式，可得;补充讨论 的情形， 任意，若 ，则;当 时，以上只给出同一个解;与第一解线性相关;即 ;对应 项，所以 ;但若将 取为线性组合，适当选择 与 ，使 对任何 均不为零，就可以消除 和 的线性相关性。 ; 当 时，