条件概率全概率公式与贝叶斯公式.pptxVIP

1.3 条件概率与全概率公式一、条件概率与乘法公式二、全概率公式与贝叶斯公式三、小结一、条件概率 1. 条件概率的概念 在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B). 一般地P(A|B) ≠ P(A) 掷骰子P(A|B)例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}， B={掷出偶数点}，P(A )=1/6，P(A|B)=？ 已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B， B中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集A中.于是 P(A|B)= 1/3.容易看到设A、B是两个事件，且P(B)0,则称 (1)2. 条件概率的定义为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率. 若事件B已发生,则为使 A也发生 ,试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间 , 于是 有(1). 2. 性质 例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解 设A={掷出点数之和不小于10} B={第一颗掷出6点}应用 定义解法1解法2 在B发生后的缩减样本空间中计算条件概率P(A|B)与P(A)的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行的 ,设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小. 而条件概率 P(A|B) 是在原条件下又添加 “B 发生 ” 这个条件时A发生的可能性大小, 即 P(A|B) 仍是概率.P(A) 与 P(A |B) 的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.3. 乘法定理二、全概率公式与贝叶斯公式1. 样本空间的划分一个事件发生.2. 全概率公式全概率公式证明图示我们还可以从另一个角度去理解全概率公式. 某一事件A的发生有各种可能的原因 ，如果A是由原因Bi (i=1,2,…,n) 所引起，则A发生的概率是P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi) 每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.说明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.例1 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占 30% , 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?解设事件 A 为“任取一件为次品”,1%2%30%50%1%20%由全概率公式得例2 有甲、乙两个袋子，甲袋子有两个白球，一个红球。 乙袋子有两个红球，一个白球。今从甲袋子任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋子中任取一球。问此球是红球的概率？解设事件 为“从甲袋子放入乙袋子是白球”,事件为“从甲袋子放入乙袋子是红球”,1红4白123四、贝叶斯公式看一个例子: 某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.或者问:该球取自哪号箱的可能性最大? 这一类问题是“已知结果求原因”. 在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小.接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式 该公式于1763年由贝叶斯 (Bayes) 给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.证明[证毕]例2解(1) 由全概率公式得(2) 由贝叶斯公式得先验概率与后验概率上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫做先验概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做后验概率.例3解由贝叶斯公式得所求概率为即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症.三、小结乘法定理1.条件概率全概率公式贝叶斯公式