应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇部分习题解答.pptxVIP

应用多元统计分析第二章部分习题解答 第二章 多元正态分布及参数的估计 2-1 设3维随机向量X～N3(μ,2I3)，已知试求Y=AX+d的分布. 解:利用性质2,即得二维随机向量Y~N2(?y,?y),其中： 第二章 多元正态分布及参数的估计 2-2 设X=(X1,X2)′～N2(μ,Σ)，其中（1）试证明X1 +X2 和X1 - X2相互独立.（2）试求X1 +X2 和X1 -X2的分布. 解: (1) 记Y1＝ X1 +X2 ＝(1,1)?X, Y2＝ X1 -X2 ＝ (1,-1)?X ，利用性质2可知Y1 , Y2 为正态随机变量。又故X1 +X2 和X1 - X2相互独立. 第二章 多元正态分布及参数的估计或者记由定理2.3.1可知X1 +X2 和X1 - X2相互独立. 第二章 多元正态分布及参数的估计(2) 因 第二章 多元正态分布及参数的估计 2-3 设X(1)和X(2) 均为p维随机向量,已知其中μ(i) (i＝1，2)为p维向量,Σi (i＝1，2)为p阶矩阵，(1) 试证明X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互独立. (2) 试求X(1) +X(2) 和X(1) -X(2) 的分布.解 :(1) 令 第二章 多元正态分布及参数的估计 由定理2.3.1可知X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互独立. 第二章 多元正态分布及参数的估计(2) 因所以注意:由D(X)≥0,可知 (Σ1-Σ2) ≥0. 第二章 多元正态分布及参数的估计2-11 已知X=(X1,X2)′的密度函数为试求X的均值和协方差阵.解一:求边缘分布及Cov(X1,X2)=σ12 第二章 多元正态分布及参数的估计类似地有 第二章 多元正态分布及参数的估计0 第二章 多元正态分布及参数的估计所以故X=(X1,X2)′为二元正态分布. 第二章 多元正态分布及参数的估计解二:比较系数法 设比较上下式相应的系数,可得: 第二章 多元正态分布及参数的估计故X=(X1,X2)′为二元正态随机向量.且解三:两次配方法 第二章 多元正态分布及参数的估计即设函数 是随机向量Y的密度函数. 第二章 多元正态分布及参数的估计(3) 随机向量 (4) 由于故 第二章 多元正态分布及参数的估计2-12 设X1 ~N(0,1),令证明X2 ~N(0,1);证明(X1 , X2 ) 不是二元正态分布.证明(1):任给x,当x≤-1时当x≥1时, 第二章 多元正态分布及参数的估计当-1≤x≤1时,(2) 考虑随机变量Y= X1-X2 ,显然有 第二章 多元正态分布及参数的估计 若(X1 , X2 ) 是二元正态分布,则由性质4可知,它的任意线性组合必为一元正态. 但Y= X1-X2 不是正态分布,故(X1 , X2 ) 不是二元正态分布. 第二章 多元正态分布及参数的估计2-17 设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,X的密度函数记为f(x;μ,Σ).(1)任给a＞0,试证明概率密度等高面f(x;μ,Σ)= a是一个椭球面. (2) 当p=2且(ρ0)时，概率密度等高面就是平面上的一个椭圆，试求该椭圆的方程式，长轴和短轴. 证明(1):任给a＞0,记 第二章 多元正态分布及参数的估计(见附录§5 P390)令,则概率密度等高面为 第二章 多元正态分布及参数的估计故概率密度等高面 f(x;μ,Σ)= a是一个椭球面.(2)当p=2且(ρ0)时,由可得Σ的特征值 第二章 多元正态分布及参数的估计λi (i=1,2)对应的特征向量为由(1)可得椭圆方程为长轴半径为 方向沿着l1方向(b0);短轴半径为 方向沿着l2方向.第二章 多元正态分布及参数的估计 2-19为了了解某种橡胶的性能，今抽了十个样品，每个测量了三项指标： 硬度、变形和弹性，其数据见表。试计算样本均值，样本离差阵，样本协差阵和样本相关阵.解：第二章 多元正态分布及参数的估计