2010水木艾迪高数强化班讲义-6.pdf

第 6 讲 常微分方程 (一) 考纲要求 考试内容 1. 常微分方程的基本概念. 2. 变量可分离的方程 零齐微分方程 一阶线性微分方程 伯努利（Bernoulli）方程 全微分方程 可用简单的变量代换求 解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 3. 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微 分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶 常系数非齐次线性微分方程 欧拉（Euler）方程 ( 数三：差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶 常系数线性差分方程 ) 4, 微分方程简单应用 (数三：微分方程, 差分方程的简单应用) 考试要求 1．了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念． 2．掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法． 3．会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解 某些微分方程 (n ) ′′ ′ ′′ ′ y f (x ) ，y f (x ,y ) ,y f (y ,y ) ． 4．会用降阶法解下列方程： 5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理． 6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的 常系数齐次线性微分方程。 7．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们 的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程． 8．会解欧拉方程． 9．会用微分方程解决一些简单的应用问题． (数三：会应用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题。) 谭泽光 1 (二) 前言： 内容抓三基；概念明五面；做题按三步。 (三) 内容提要: 一个概念，三类方程，两方面的应用。 1. 基本知识 ⎧常微分方程及其阶，分类 ⎪ ⎨常微分方程的解、通解和特解 ⎪⎩常微分方程的解初值问题，解的存在性和唯一性 2. 一阶方程求解 ⎧ ⎧分离变量型 : y ′ f (x ) g (y ) ⎪ ⎪ 可分离变量型方程 ⎨ y ⎪ 可化成分离变量型: ′ ⎛ ⎞, =+ y f f ax b ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ ( ) x ⎨ ⎩ ⎝ ⎠ , ⎪ ′ 齐次: ( ) 0 ⎪ ⎧ y + p x y 一阶线性方程： ⎨ ⎪ 非齐次: ′ ( ) ( ) ⎩ ⎩ y + p x y q x ⎧ (n) ( )