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最短路径之 Dijkstra 算法详细讲解
1 最短路径算法
在日常生活中,我们如果需要常常往返 A 地区和 B 地区之间,我们最希望
知道的可能是从 A 地区到 B 地区间的众多路径中,那一条路径的路途最短。最
短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题, 旨在寻找图(由结点和路径组
成的)中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括:
(1)确定起点的最短路径问题:即已知起始结点,求最短路径的问题。
(2)确定终点的最短路径问题:与确定起点的问题相反,该问题是已知终
结结点,求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同,在
有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
(3)确定起点终点的最短路径问题:即已知起点和终点,求两结点之间的
最短路径。
(4)全局最短路径问题:求图中所有的最短路径。
用于解决最短路径问题的算法被称做 最短路径算法“ ”, 有时被简称作 路径“
算法 ”。 最常用的路径算法有: Dijkstra 算法、 A* 算法、 Bellman-Ford 算法、
Floyd-Warshall 算法、 Johnson 算法。
本文主要研究 Dijkstra 算法的单源算法。
2 Dijkstra 算法
2.1 Dijkstra 算法
Dijkstra 算法是典型最短路算法,用于计算一个节点到其他所有节点的
最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。
Dijkstra 算法能得出最短路径的最优解,但由于它遍历计算的节点很多,所以效
率低。
Dijkstra 算法是很有代表性的最短路算法,在很多专业课程中都作为基本内
容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。
2.2 Dijkstra 算法思想
Dijkstra 算法思想为:设 G=(V,E) 是一个带权有向图,把图中顶点集合 V 分
成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用 S 表示,初始时 S 中只有一
个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将 加入到集合 S 中,直到全部顶点都加
入到 S 中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用 U
表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入 S 中。在加入的
过程中,总保持从源点 v 到 S 中各顶点的最短路径长度不大于从源点 v 到 U 中
任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离, S 中的顶点的距离就
是从 v 到此顶点的最短路径长度, U 中的顶点的距离,是从 v 到此顶点只包括 S
中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2.3 Dijkstra 算法具体步骤
(1)初始时,S 只包含源点,即 S =,v 的距离为 0 。U 包含除 v 外的其他
顶点, U 中顶点 u 距离为边上的权(若 v 与 u 有边)或 )(若 u 不是 v 的出边
邻接点)。
(2 )从 U 中选取一个距离 v 最小的顶点 k,把 k ,加入 S 中(该选定的距
离就是 v 到 k 的最短路径长度)。
(3 )以 k 为新考虑的中间点,修改 U 中各顶点的距离;若从源点 v 到顶点
u (u U )的距离(经过顶点 k)比原来距离(不经过顶点
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