概率论与数理统计第一章第三节.ppt

注意:互斥与独立的区别 1.互斥的概念是事件本身的属性； 独立的概念是事件的概率属性。 2.两事件互斥,即A与B不能同时发生； P(AB)=0 P(AB) ≠ P(A)P(B) 即A与B不独立 独立是指A与B的概率互不影响.P(AB)=P(A)P(B) 3.若0P(A)1, 0P(B)1, 互斥一定不独立；独立一定不互斥。 4.在用途上有区别：互斥通常用于概率的加法运算, 独立通常用于概率的乘法运算。 例2(P21) 甲、乙、丙三部机床独立工作，由一个工人照管，某段时间内他们不需要工人照管的概率分别为0.9，0.8及0.85。求在这段时间内有机床需要工人照管的概率；机床因无人照管而停工的概率。 解:设A=“机床甲不需要工人照管”; B=“机床乙不需要工人照管”; C=“机床丙不需要工人照管”; 根据题意,A、B、C相互独立，并且 P(A)=0.9 P(B)=0.8 P(C)=0.85 理解：“机床因无人照管而停工”等价于同时有两台机器需要 照管（至少两台机器需要同时照管？）。 例3： 若例1中的3部机床性能相同，设P(A)＝P(B)＝P(C)＝0.8，求这段时间内恰有一部机床需要照管的概率；恰有两部机床需要照管的概率； 解：设Di＝“恰有i部机床需要照管” P(D1)=？ P(D2)=？ 二、独立试验序列概型 在概率论中，把在相同条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序列概型。 进行n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其他各次试验结果发生情况的影响，称这n次试验是相互独立的。 进行n次试验，如果这n次试验满足： ⅰ)每次试验的条件相同 ⅱ)每次试验的结果互不影响 称这n次试验为：n次重复独立试验概型。 特别的：当每次试验只有两种可能结果，即只有事 件A与ā，且在每次试验中P(A)=p, P(ā)=1-p 时， 称为n重贝努里试验概型 例1：一批产品的废品率为0.1，每次抽取一个，观察后放回去， 下次再取一个，共重复3次，3次中恰有两次取到废品的概率 解：设B2＝“3次中恰有两次取到废品” Ai＝“第i次取到废品” ( i=1,2,3) 贝努里定理 设一次试验中事件A发生的概率为p(0p1),则n重贝努里试验中，事件A恰好发生k次的概率为： 其中q=1-p 例2(P24):一条自动生产线上产品的一级品率为0.6，现检查了10件，求至少有两件一级品的概率？ 设B表示：“至少有两件为一级品” “至多有一件为一级品” 第一章 回顾与总结 重点： 随机事件的概念 古典概型的概率计算方法 概率的加法公式 条件概率和乘法公式的应用 全概率公式和贝叶斯公式的应用 难点： 古典概型的概率计算　全概率公式的应用 三、全概率公式与贝叶斯定理 考虑乘法法则例1（书中p16） 全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式 设A1, A2,…, An是两两互不相容的事件，构成一个完备事件组，且P(Ai)0, i =1, 2, …, n; 另有一事件B, 它总是与A1, A2, …, An 之一同时发生，则全概率公式为： 若A1,A2,…,An是 样本空间Ω的一个 划分,那么,对于每次 试验,事件A1,A2,…,An 中必有一个且仅有一个 发生. 贝叶斯公式 设A1, A2,…, An构成一个完备事件组，并且它们都具有正概率，则对于任何一个概率不为零的事件B,有： 证明：根据条件概率定义及全概率公式求得 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法定理和乘法定理的综合运用。 贝叶斯公式例题1 仍考虑从1,2,3个箱子中抽取红球的案例，现某人从任意一箱 中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率 解：记 Ai={球取自 i 号箱}, i =1,2,3; B ={取得红球} 贝叶斯公式例题3 某一地区患有癌症的人占0.005 [P(A)] ，患者对一种试验反 应是阳性的概率为0.95 [P(B|A)]，正常人对这种试验反应是 阳性的概率为0.04 [ ]，现抽查了一个人，试验反应 是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大? P(A | B)= ? 解：设 A = {抽查的人患有癌症}, “抽查的人不患癌症” B = {试验结果是阳性}。已知 带入贝叶斯公式 得P(A | B)= 0.1066 结果的意义： (1). 该试验对于诊断一个人是否患有癌有无意义？ 如果不做试验，抽查一人, 他是癌症患者的概率 P(A)=0.005 ，患者阳性反应的概率是0.95，若试验后呈