直角坐标系中的分离变量法.pptxVIP

第 二 章直角坐标系中的分离变量法;§2.1 分离变量法; 分离变量法是将分离变量形式的 试探解代入偏微分方程中，将求解偏微分方程的问题转化为求解常微分方程组的问题，是求解数学物理方程的经典而有效的方法之一。;直角坐标系下三维、无内热源非稳态热传导方程分离变量;假设分离变量形式的试探解，令：; 经整理后，得到：;代入(2-5)式，得：;若(2-6)式成立，每一项都必须分别等于某一任意的分离常数，即;则分离方程组为：; 现在来分析一个二维稳态热传导 问题。 ;例2-1 矩形板，板内无热源，稳态，热物性参数 k 为常数，求板内的温度分布，见图2-1。 ;图(2－1) 示意图;控制方程：;边界条件：;假设分离变量形式的试探解;将(2-10)代入(2-8), 得到;方程左边只是 y 的函数，方程右边只是 x 的函数，若等式成立，只有两边都为常数。 设常数为 λ2 ，则(2-12)为;(2-8)式的偏微分方程化为两个二阶常微分方程：;由(2-13)所定义的辅助问题称为特征值 (本征值)问题，分离参数 λ 称为特征值(本征值)，X(x) , Y(y)称为特征函数(本征函数)。;讨论特征值λ的取值范围。 首先设 λ2 = 0，(2-13)的解为; 则:;再考虑 λ2 0 ， (2-13)的解为;通过分析，可知只有 是满足边界条件(2-9d)的. ;(2-13)分解为两个方程：;;应用边界条件;可以注意到，边界条件 决定了分离参数只能取 一些特定的值，称之为 特征值。;(2-15)的解为n个解的总和;方程左边只有 ，即 n = 1, 所以，当 n 1 时， (2-16)式为 ;将C1代入，得到整个解的表达式为：; §2.2 齐次热传导问题; 齐次的定义; 方程和边界条件都为齐次的， 称为齐次问题。 齐次热传导方程：不含内热源 齐次边界条件：可写成 的形式;(一)一维齐次问题：; 图(2-2) 例2-2的图; 解: 控制方程：;边界条件：; 初始条件：;假设分离变量为：;对空间变量函数 X(x) 满足的方程有;边界条件：;时间变量函数 Γ(τ) 满足的方程为;(2-17)问题的解为;由初始条件，有; 求待定系数 Cm . 对方程(2-24)两边用算子;根据特征函数 的正交性质，即;;下面利用边界条件??确定 特征值 和特征函数 及模 ;已知方程(2-20a)的解为;边界条件为;由(2-27a)得到;所以;当 x = L ,; 将上式及(2-27a)代入(2-27c)，经 整理，得到;根据模的定义，确定出;对不同的边界条件，计算得到的 , 及 已经列于表(2-2)(p.37)，可直接查表。;;半无限大物体的解: 半无限大物体的特点是只有一个 边界条件。 此时特征值 为从零到无限大连续域内的任意值，则解为;对于 x = 0 的各种边界条件对应的特征函数 X(β, x) 和模 N(β) 列于表(2-3)(p.43)。 无限大物体 –∞ x +∞ ,β值应从 – ∞ ~ + ∞积分，因为 –∞ x 0 和 0 x + ∞是对称的，所以 β 值从 0 ~ +∞积分即可。;（二）多维齐次(边条)问题;图2-3 矩形区域的温度分布; 解: 控制方程：;边界条件：;初始条件：;上述问题可以分解为两个一维问题：;完全解的形式为:;用算子 及算子 依次作用在上式的两边，利用特 征函数的正交性求出;模 及特征值 可以从表(2-2)中查到。;半无限长的带子，见图(2-4), 图(2－4);对 y 方向为一维有限大物体，对 x 方向是半无限大物体，可利用 表(2-2)及(2-3)。 ;（三）乘积解法;例: 考虑矩形区域，;控制方程：;边界条件：;初始条件：;该问题可以化简为一个 0 ≤ x ≤ a和 0 ≤ y ≤ b 的两个一维有限平板问题，即;上述问题的解都可以从查表(2-2)中得到。 其解为：;半无限大角区的解; 可以分为0 ≤ x ∞和0 ≤ y ∞ 的两个半无限大问题解的乘积。 半无限大问题的解可以有表(2-3)查到。;§2.3 非齐次热传导问题; 对于只有一个非齐次边界的问题是容易处理的。可以用分离变量法求解齐次