x高阶导数与泰勒公式.pptxVIP

一、 高阶导数和高阶微分;三阶导数的导数称为四阶导数, ;高阶微分 设函数y=f(x)在区间（a,b)内有微分 dy=d(f(x))=f ’(x)dx 若导函数f ’(x)在点（a,b) 可微分则称： d2y =d(dy)=d[f’(x)dx] = f” (x) (dx)2 = f ” (x) dx2 为函数y=f(x)在点x的二阶微分。;例1;例2;例3;例4;高阶导数的运算法则:;例1;例2;解 ;例4;不足:;. 求 n 次近似多项式;...;泰勒(Taylor)中值定理1;泰勒(Taylor)中值定理2;证:;;例1. 写出f (x)=ex的n阶麦克劳林公式.;间接展开法;例2. 求f (x)=sinx展开到n阶的麦克劳林公式;;;;; 常用函数的麦??劳林公式;例4 按(x-4)的幂展开多项式 f(x)=x4-5x3+x2-3x+4;利用泰勒公式计算极限 例1;解;利用泰勒公式证明题： 例(P148)：设f(x)在(a,b)上具有二阶导数，且f’(a)=f’(b)=0,则在(a,b)内至少存在一点ξ使： 证明：;例 2 设f(x)在[-1，1]上三次可导，且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0 证明：存在-1x01使f’”(x0) ≥3 证明：利用Talyor公式 f(1)=f(0)+f’(0) + 1/2 f”(0)+1/6 f’”(ξ1), 0 ξ11 f(-1)=f(0)-f’(0)+ 1/2 f”(0)- 1/6 f’”(ξ2), 0 ξ21 即：1= f(0) + 1/2 f”(0) + 1/6 f’”(ξ1), （1） 0= f(0) + 1/2 f”(0) - 1/6 f’”(ξ2), （2） （1）-（2）得： f’”(ξ1)+ f’”(ξ2)=6 取 f’”(x0)=max{ f’”(ξ1), f’”(ξ2)} 则有： f’”(x0) ≥3;例(P148);（2）当n为奇数;