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北师版数学九年级 由与反比例函数的交点坐标生成的代数式求值问题探析
翻开近几年的中考题,以反比例函数为背景条件求代数式的值的问题成为一个命题的趋势.今天就结合2017年考题向同学们介绍其中的三位豪杰,供学习时借鉴.
1.据反比例函数与一次函数的一个交点坐标求代数式的值
例1 (2017年江苏连云港)设函数与y=-2x-6的图象的交点坐标为(a,b),则的值是 .
分析 :此题是这类问题中最简单问题之一,解答时,做到“三代一化”:
1.将交点坐标代入反比例函数的解析式中,得到ab的值;
2.将交点坐标代入一次函数的解析式,得到2a+b的值;
3.将被求代数式进行通分变形,将上述数值代入变形代数式;
4.对代数式进行化简即可.
解:因为函数与y=-2x-6的图象的交点坐标为(a,b),所以ab=3,b=-2a-6即2a+b=-6,
所以==-2.
点评: 熟记“三代一化”的意义,并能熟练掌握这种解题的方法,至少你心中有了一种解题的基本思路,至少你可以大胆一试,不会再一筹莫展,束手无策.
2.据反比例函数与正比例函数的两个交点坐标求代数式的值
例2(2017年山东菏泽)直线与双曲线交于和两点, 则的值为 .
分析:交点的坐标同时满足两个函数的解析式是解题的基础,依此为基础,结合所求代数式灵活变形是解题的关键.
解:因为直线过点和,所以
所以;因为双曲线经过和两点,
所以,所以,所以,所以,所以=-,
所以=3k+9=-3k+9=-3+9=6=36.
点评 可以利用反比例函数的中心对称性质求解也是可以的,根据对称性直接得出=-,=-,然后变形代入整体求解即可.此题的求解思路也是典型的消元法,熟练掌握消元法的意义也是解题的有效方法.
3.据反比例函数与反比例函数的交点求代数式的值
例3(2017年湖南怀化)如图1,A,B两点在反比例函数y=的图象上,C,D两点在反比例函数y=的图象上,AC⊥y轴于点E,BD⊥y轴于点F,AC=2,BD=1,EF=3,则-的值是 ( )21
A.6 B.4 C.3 D.2
分析:当直线与两个反比例函数同时相交时,求解的思路至少有两条,一条是设交点坐标法;一种是构造矩形或三角形法,利用反比例函数k的几何意义去破解问题.
解法1 :构造三角形法
连接OA、OC、OD、OB,如图:由反比例函数的性质可知:==||=;
==||=-;因为=+,
所以=(-),因为=AC?OE=×2OE=OE,所以-=2OE…①,
因为=+,所以=(-),因为=BD?OF=×1×(3-OE)=-OE,所以-=-OE……②,由①②两式解得OE=1,
所以-=2OE =2.故选D.
点评:解法的精妙所在就是通过构造三角形,充分利用了反比例函数k的几何意义,构造新等式,实现新突破,需要深厚的数学功底.
解法2 :巧设交点坐标法
设点A的坐标为(m,),点D的坐标为(n,),则点C的坐标为(,),点E的坐标(0,),
点B的坐标为(,),点F的坐标(0,),因为AC=2,BD=1,EF=3,
所以m-=2,n-=1, -=3,所以=,-=,所以=-,
所以+()=-=3,所以=2,所以选D.
点评:巧设点的坐标,设而不求,也是解决反比例函数问题的一种常用方法,值得熟练掌握.此外,熟练表示平行x轴的直线上的两点之间的距离,平行y轴或y轴上的两点之间的距离也是解题的一个重要因素;特别是能熟练运用数学思想解题更是数学的精髓,这里就用到了整体的数学思想,使得问题的解决效率得以大幅提升.
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