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2020 中考数学复习指南： 《二次函数》压轴训练
2
1．如图，抛物线 y ＝ax +bx 过 A （5，0 ），B （1 ，4 ）两点．
（1 ）求该抛物线的解析式；
（2 ）点 P 是抛物线上一点，且位于第一象限，当△ ABP 的面积为 6 时，求点 P 的坐标；
（3 ）在线段 AB 右侧的抛物线上是否存在一点 P，使得 AB 分△ OPA 的面积为 1：2 两
部分？存在，求出点 P 的坐标；不存在，请说明理由．
解： （1）将点 A ，B 的坐标代入抛物线表达式，
得： ，
解得： ，
2
所以抛物线的表达式为： y ＝﹣x +5 x
（2 ）求得直线 AB 的表达式为： y ＝﹣x +5 ；
过点 P 作直线 PQ ∥y 轴交 AB 点 Q ，
2
设 P （m ，﹣ m +5 m ），
则 Q （m ，﹣ m +5 ）．
当点 P 在 Q 上方时， ，
∴ ，
解得 m 1 ＝2 ，m 2 ＝4 ，
即 P （2 ，6 ）， P （4，4 ）
1 2
当点 P 在 Q 下方时， ，
∴ ，
解得 ， （舍去），
即
综上，点 P 的坐标为： P （2 ，6 ），P （4 ，4 ）或 ；
1 2
（3 ）由直线 AB 的表达式为： y ＝﹣ x+5 ；
令 x ＝0 ，则 y ＝5 ，
即直线 AB 交 y 轴于点 D （0 ，5 ）．
设 AB 交 OP 于点 C ，
当 OC ＝2 PC 或 2OC ＝PC 时，
则 AB 分△ OPA 的面积为 1：2 ．
∵PQ ∥y 轴交 AB 点 Q ，
∴∠ PQC ＝∠ODC ，
∵∠ PCQ ＝∠OCD ，
∴△ ODC ∞△ PQC ．
∴ ．
①当 OC ＝2 PC 时， ，
2 2
由（ 2 ）得： PQ ＝（﹣ m +5 m ）﹣（﹣ m +5 ）＝﹣ m +6 m ﹣5 ，
即 ，
解得 ，
即 ．
②当 2OC ＝PC 时， PQ ＝10 ，
2 2
由（ 2 ）得： PQ ＝（﹣ m +5 m ）﹣（﹣ m +5 ）＝﹣ m +6 m ﹣5 ，
2
即﹣ m +6 m ﹣5 ＝10 ，所得方程无解．
综上所述：点 P 的坐标为 ．
2 2
2 ．如图，线段 AB ，A （2 ， 3），B （5，3 ），抛物线 y ＝﹣（ x ﹣1 ） ﹣m +
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