圆锥曲线方程-椭圆学习知识重点归纳.doc

!- PAGE 椭圆 典例剖析 知识点一　椭圆定义的应用 　方程eq \f(x2,25－m)＋eq \f(y2,16＋m)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________． 解析：因为焦点在y轴上，所以16＋m25－m，即meq \f(9,2)，又因为b2＝25－m0，故m25，所以m的取值范围为eq \f(9,2)m25.答案：eq \f(9,2)m25 知识点二　求椭圆的标准方程 　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)． (2)经过点A(eq \f(1,3)，eq \f(1,3))，B(0，－eq \f(1,2))． (1)解　方法一　椭圆的焦点在x轴上， 设其标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)． 由椭圆定义知：2a＝eq \r((5＋4)2)＋eq \r((5－4)2)＝10， 所以a＝5. 又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9. 故椭圆标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1. 方法二　设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)， 因为c＝4，所以a2－b2＝c2＝16.又椭圆经过点(5,0)，所以eq \f(25,a2)＋eq \f(0,b2)＝1，所以a2＝25，所以b2＝25－16＝9，所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1. (2)方法一　①当椭圆焦点在x轴上时，设标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)， 依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f((\f(1,3))2,a2)＋\f((\f(1,3))2,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f((－\f(1,2))2,b2)＝1.)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,5)，,b2＝\f(1,4).))又因为ab，所以该方程组无解． ②当椭圆焦点在y轴上时，设标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(ab0)． 依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f((\f(1,3))2,a2)＋\f((\f(1,3))2,b2)＝1，,\f((－\f(1,2))2,a2)＋\f(0,b2)＝1.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,4)，,b2＝\f(1,5).)) 所以方程为eq \f(y2,\f(1,4))＋eq \f(x2,\f(1,5))＝1. 综上知，所求椭圆的标准方程为：eq \f(y2,\f(1,4))＋eq \f(x2,\f(1,5))＝1. 方法二　设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)， 依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,9)m＋\f(1,9)n＝1，,\f(1,4)n＝1，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝5，,n＝4，))所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1， 即其标准方程为eq \f(y2,\f(1,4))＋eq \f(x2,\f(1,5))＝1. 练习：过点(－3,2)且与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程是________． 解析：因为c2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－5)＝1.由点(－3,2)在椭圆上知eq \f(9,a2)＋eq \f(4,a2－5)＝1，所以a2＝15.所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1.答案：eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1 知识点三　根据方程研究几何性质 　求椭圆25x2＋16y2＝400的长轴、短轴、离心率、焦点坐标和顶点坐标． 解　将方程变形为eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1，得a＝5，b＝4，所以c＝3.故椭圆的长轴和短轴的长分别为2a＝10,2b＝8，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,5)，焦点坐标为(0，－3)，(0,3)，顶点坐标为(0，－5)，(0,5)，(－4,0)，(4,0)． 知识点四　根据几何性质求方程 　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是6，离心率是eq \f(2,3). (2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解　(1)设椭圆的方程为 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)