圆幂定理教学资料老师用.doc

^` PAGE 切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 ［学习目标］ 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 2.切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段 定理 图形 已知 结论 证法 相交弦定理 ⊙O中，AB、CD为弦，交于P. PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB. 相交弦定理的推论 ⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P. PC2＝PA·PB. 用相交弦定理. 切割线定理 ⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于A PT2＝PA·PB 连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT 切割线定理推论 PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、C PA·PB＝PC·PD 过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理 圆幂定理 ⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦 PC·PD＝r2－OP2 PA·PB＝OP2－r2 r为⊙O的半径 延长PO交⊙O于M，延长OP交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证 8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。 【典型例题】 例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。 图1 解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE 设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理 ∴，， 例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。 图2 解：由相交弦定理，得 AE·BE＝CE·DE ∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm， ， ∴， 即 ∴CE＝3cm或CE＝4cm。 故应填3或4。 点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。 例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则________。 解：∵∠P＝∠P ∠PAC＝∠B， ∴△PAC∽△PBA， ∴， ∴。 又∵PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得 ∴， 即 ， 故应填PC。 点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。 例4.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。 图3 解：∵PC是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，且PA：PB＝1：4 ∴PB＝4PA 又∵PC＝12cm 由切割线定理，得 ∴ ∴， ∴ ∴PB＝4×6＝24（cm） ∴AB＝24－6＝18（cm） 设圆心O到AB距离为d cm， 由勾股定理，得 故应填。 例5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，（1）求证：；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。 图4 点悟：要证，即要证△CED∽△CBE。 证明：（1）连结BE （2） 。 又∵， ∴厘米。 点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。 例6.如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E。 图5 求证： 证明：连结BD， ∵AE切⊙O于A，