分式运算 培优竞赛 讲义.docVIP

PAGE 分式的概念、性质及运算 分式包括分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简单的分式方程等主要内容． 从整式到分式，我们可以形象地说是从“平房”到了“楼房”．在脚手架上活动，无疑增加了难点，体现在：解分式问题总是在分式有意义的前提下进行的，因此必须考虑字母取值范围；分式运算中的通分和约分是技巧性较强的工作，需要灵活处理． 分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，是以整式的变形、因式分解为工具．分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分，常用通分的策略与技巧有： 1．化整为零，分组通分； 2，步步为营，分步通分； 3．减轻负担，先约分再通分； 4．裂项相消后通分等 例题求解 【例1】 要使分式有意义，则的取值范围是 ． (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 当分式的分母不为零时，分式有意义，由于分式是繁分式，因此考虑问题应细致周密． 注：在新事物面前，人们往往习惯于把它们与原有的、熟知的事物相比，这里蕴涵的思想方法就是类比． 学习分式时，应注意： (1)分式与分数的概念、性质、运算的类比； (2)整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不是分式的特殊情形； （3）分式需要讨论宇母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在． 【例2】 已知，其中A、B为常数，则4A－B的值为（ ） A．7 B．9 C．13 D．5 (江苏省竞赛题) 思路点拨 对等式右边通分，比较分子的对应项系数求出A、B的值． 【例3】计算下列各式： (1)； （2）； ( “五羊杯”竞赛题) （3） (江西省赣州市竞赛题) （4） (安徽省马鞍山市竞赛题) 思路点拨 因各分式复杂，故须观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧．对于(1)，分步通分；对于(2)，拆项再通分；对于(3)，先约分再通分；(4)注意到分母与分子的项与项之间的关系，如x－2y+z=(x－y)－(y－z)，采用换元法简化式子． 【例4】 解下列分式方程(组)： (1)； (“五羊杯”竞赛题) (2) (“希望杯”邀请赛题) 思路点拨 若直接通分去分母，则使问属复杂化，对于(1)拆分、分步运算，对于(2)取倒数，逆用加法法则． 【例5】 (1)n为自然数，若n+6|n3+1996，则称n为1996的吉祥数，如4+6|43+1996，4就是1996年的一个吉祥数．试求1996年的所有吉祥数的和． (北京市竞赛题) (2)计算： (上海市“宇振杯”竞赛题) 思路点拔 (1)由于n3+1996的次数高于n+6的次数，所以，通过变形将两个整式整除的问属转化为一个分式的问题来解决，是解本例的关键；(2)首尾配对，考查一般情形，把数值计算转化为分式的运算． 学力训练 1．（1）要使分式没有意义，则a的值为 ． （2）若和互为相反数，则的值为 ． (岳阳市中考题) 2．已知为整数，且为整数，则所有符合条件的x值的和为 ． 3．已知与的和等于，则= ，＝ ． (山东省竞赛题) 4．学校用一笔钱买奖品，若以1枝钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1枝钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品．那么，这笔钱全部用来买钢笔可以买 枝． (江苏省镇江市中考题) 5．已知式子的值为0，则x的值为( ) A．±1 B．－l C．8 D．－1或8 (江苏省竞赛题) 6．化简的结果是( ) A． B． C． D． (大连市“育英杯”竞赛题) 7．若x取整数，则使分式的值为整数的x值有( ) A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 (江苏省竞赛题) 8．若a、b、c满足a+b+c=0，abc=8，则的值是( ) A．正数 B．负数 C．零 D．正数或负数 (“希望杯”邀请赛试题) 9．计算下列各题： （1）； （2）； （3）； 10．(1)火车长为400米，通过隧道(从火车头进入隧道至车尾离开隧道)需10分 钟，若每分钟速度增加0．1千米，则只需9分钟．求隧道长．（大原市竞赛题) (2)甲、乙两人两次到某粮店去买大米，两次的大米价格分别为每斤。元和6 元，甲每次买100斤