运用函数的单调性与奇偶性解抽象函数不等式(附加半节课)教师版.doc

^` 教学内容概要 高中数学备课组 教师： 年级： 高三 学生： 日期： 上课时间： 主课题：运用函数的单调性与奇偶性解抽象函数不等式 教学目标： 1、函数单调性的定义与逆用； 2、函数奇偶性的定义与性质； 3、抽象函数性质的提取，抽象函数不等式的转换； 4、会解决转化后的不等式恒成立问题； 教学重点： 1、函数的奇偶性、单调性等性质； 2、利用函数单调性脱掉“”号，解不等式； 3、不等式恒成立问题的解法； 教学难点： 1、利用函数单调性脱掉“”号，解不等式； 2、不等式恒成立问题的解法； 家庭作业 1、复习知识点，归纳整理错题、难题； 2、完成巩固练习； 教学内容 【知识精讲】 一、常见的抽象函数模型： ① 正比例函数模型：┄┄┄。 ② 幂函数模型：┄┄┄；。 ③ 指数函数模型：┄┄┄；。 ④ 对数函数模型：┄┄；。 ⑤ 三角函数模型：┄┄┄。 如何利用函数单调性解题是历年高考和模考的重点，其中利用函数单调性解不等式是一个重点中的难点，如何攻克这个难点呢？一个词：去壳。 二、奇偶函数的性质： 奇函数：（1）； （2）若奇函数的定义域包含，则； （3）图像关于原点对称； （4）轴左右两侧的单调性相同； 偶函数：（1）； （3）图像关于轴对称； （4）轴左右两侧的单调性相反； 三、函数单调性的逆用： 若在区间上递增，则()； 若在区间上递减，则.(). 四、不等式恒成立问题的解法 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 通过上面的等价转化，转换为函数求最值的问题。 【经典例题】 例1、求函数的定义域。 解：依题意有，即 得 即 所以所求函数的定义域为。 例2、已知奇函数是定义在上的减函数，解不等式。 解： ∵是定义在上的奇函数 ∴ ∴原不等式可转化为 ∴ 解得。 归纳方法：1、观察不等式两端的特点，化为同类函数； 2、借助函数的单调性，脱掉“”； 3、注意定义域及单调区间，特别是对数函数中真数大于0。 例3、 是定义在上的奇函数且单调递减，若，则的取值范围是 （ A ） A . B. C. D. 解：∵是奇函数 所以 由得： ∵在上单调递减 ∴ 解得。 例4、（引例）已知奇函数的定义域为，且在区间内单调递减，求满足的实数m的取值范围． 解：∵的定义域为， ∴有，解得 ① 由 ∴ 又由为奇函数，得 ∴ 又为奇函数，且在上单调递减， ∴在上单调递减．（要证明） ∴. 即 ② 综合①②，可知. （拓展）设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 (　　) A． B． C． D． 【分析】此题综合性较强，首先根据奇函数性质画出在上的图像，得到原函数在上单调递增，关键一步是将变形为，继而利用单调性脱去“”号，转换为求解不等式恒成立的问题。 解：∵时， 设，则 ∴ ∵是定义在上的奇函数 ∴ 综上，在上的解析式为 画出图像得在上单调递增 根据的解析式可将变形为 所以对任意的恒成立 解得。 例5、已知偶函数在区间上单调递增，则满足的取值范围是（ ） A B C D 解：由于是偶函数，且在区间上单调递增，所以在上单调递减。根据图像得，解得。 例6、（引例）函数是R上的单调函数，满足，且，求实数的取值范围； 解：由已知函数是R上的单调函数，且满足， 得函数是R上的单调递增函数， 又， 所以，解得 所以实数m的取值范围是； （拓展）定义在上的单调函数满足且对任意都有 。 (1)求证为奇函数； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 解：（1）证明：令，得 令，得 ∴为奇函数 （2）由（1）知 又∵且是定义在上的单调函数 ∴在上单调递增 由得 即 ∴对任意恒成立 得 因为当且仅当即时等号成立 所以。 所以实数的取值范围为。 【拓展提高】 例：已知奇函数的定义域为实数集，且在上是增函数，当时，是否存在这样的实数，使对所有的均成立？若存在，求出所有适合条件的实数；若不存在，请说明理由。 【分析】利用函数的单调性和奇偶性脱去“”，将抽象函数转化为含参不等式恒成立的问题。 【解】 因为为奇函数，所以， ∴， ∴ 又因为在上是增函数，且是奇函数， 所以是上的增函数，所以 所以 因为，所以。 令 满足条件的应使不等式对任意均成立. 后面的过程可以用两种方法：转换为二次函数和参变分离。 方法一：设 由条件得 解