习题课3上课版20101117新.pptxVIP

主要内容 一、中值定理 二、洛必达法则 三、导数的应用 (1) 函数单调性的判定法 (2) 函数的极值及其求法 极值必要条件、第一、第二充分条件、第二充分 条件的推广。 求极值的步骤: (3) 最大值、最小值问题 (4) 曲线的凹凸与拐点 (5) 函数图形的描绘 (6) 弧微分，曲率，曲率半径 典型例题 [分析] 不便使用介值定理。 下面用 Rolle 定理来证。 证 故由Rolle 定理知 练习1 设实数 满足下述等式 证明方程 在 ( 0 , 1) 内至少有一 个实根 . 证: 令 则可设 且 由罗尔定理知存在一点 使 即 练习2. 设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且 分析: 所给条件可写为 (03考研) 试证必存在 想到找一点 c , 使 证: 因 f (x) 在[0, 3]上连续, 所以在[0, 2]上连续, 且在 [0, 2]上有最大值 M 与最小值 m, 故 由介值定理, 至少存在一点 由罗尔定理知, 必存在 例2 设 在 上可导, 且 证明 f ( x ) 至多只有一个零点 . 证: 设 则 故 在 上连续单调递增, 从而至多只有 一个零点 . 又因 因此 也至多只有一个零点 . 证: 问题转化为证 设辅助函数 显然 在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至 使 即有 少存在一点 例4 且 试证存在 单调增区间为 ; 例6 填空题 (1) 设函数 其导数图形如图所示, 单调减区间为 ; 极小值点为 ; 极大值点为 . . 在区间 上是凸弧 ; 拐点为 形在区间 上是凹弧; 则函数 f (x) 的图 (2) 设函数 的图形如图所示, 例7 求极限 例7 (1) 解 (4) 证: 设 则 所以当 令 得 即所证不等式成立 . 例9 解 例13 极大值 拐点 极小值 例14 且 试证存在 证: 欲证 因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上满足拉氏中值定理条件, 故有 将①代入② , 化简得 故有 ① ② 即要证