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误差理论习题课误差理论基础受观测条件的限制，观测值不可避免地存在观测误差观测条件： 观测仪器、观测者、观测环境 观测条件的好坏将直接影响测量成果的质量根据观测误差对测量结果的影响性质，观测误差可分为： 偶然误差、系统误差、粗差同时产生于观测过程中，同时综合影响着观测值。经典平差的前提条件之一： 观测值中只含偶然误差，或偶然误差占主导地位经典平差的前提条件之二： 观测值互不相关(任意两个观测值之间的协方差为零）经典平差的前提条件之三： 平差前，观测值的先验统计信息已知（观测值的中误差或权已知） 偶然误差表现： 在相同的观测条件下进行一系列观测， 单个误差在大小和符号上都没有任何规律，表现出随机性，每个误差对总体的影响很小，没有哪个误差在整个误差中占优势， 但大量误差的总体却呈现出一定的统计规律。偶然误差的统计规律性1、在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值（界限性 ）；2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大（聚中性 ）；3、绝对值相等的正负误差出现的概率相同（对称性 ）；4、偶然误差的数学期望为零图2.2.1 偶然误差的统计规律性 偶然误差 ，服从正态分布 σ不同，曲线的位置不变，形状却变化:σ愈小，曲线顶点愈高，形状愈陡峭，误差分布密集于随机变量的数学期望附近。偶然误差的概率密度函数是： 频数/d? 频数/d? 频数/d?0.630-0.8-0.8-0.8-0.6-0.6-0.6-0.4-0.4-0.40000.40.40.40.60.60.60.80.80.8-0.8-0.6-0.400.40.60.8闭合差闭合差闭合差闭合差0.475提示：观测值定了其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是正态分布。精度：误差分布的密集或离散程度。精度评定指标：中误差（方差） 相关性评定指标：协方差中误差：一、单个观测值的方差/中误差方差：两个观测值之间的协方差方差反映了X的误差分布的离散程度;协方差反映了X和Y之间的相关关系.单个观测值的权和协因数称pi为观测值Li的权。Qii为观测值Li的协因数，Qij为观测值Li关于Lj的互协因数。二、观测值向量的 自协方差阵DXX特点： 对称可逆方阵主对角线上元素为对应观测值的方差;非主对角线上元素为对应两个观测值的协方差 观测值向量间的 互协方差阵观测值向量 的协因数阵二、观测值线性函数的方差三、观测值函数的误差传播1、线性函数 ：2、非线性函数的线性化：将Z=f(X)按台劳级数在X0处展开：四、观测值函数的误差传播协方差传播律协因数传播律五、误差传播律在测量中的应用1、由三角形闭合差计算测角中误差的菲列罗公式： 2、独立等精度观测量算术平均值的中误差公式： 3、等精度独立观测两水准点间观测高差的中误差公式： 4、独立等精度观测量算术平均值的权： 5、等精度独立观测两水准点间观测高差的权： 三、协方差传播率的应用6、等精度观测数据均值中误差（白赛尔公式）7、单位权方差：误差传播定律的 应用算例1、设有函数：Y = F * X1 + F0 ， Z = K * X2 + K0 。已知：向量X = [ X1 ， X2 ]T的方差-协方差阵为： 求：Y关于Z的协方差DYZ。 2、在单一水准路线AB上，P为待定高程点，A、B点高程已知，且无误差。今观测了高差h1,h2和对应水准距离S1,S2。已知：试确定将观测高差闭合差按距离分配后，高差平差值的协方差阵 。 3、在水准测量中,每测站观测高差的中误差为±1cm.今从已知点推算待定点的高程,要求高程中误差不大于±5cm.问:可设多少个测站?4、有一个角度测了20 回，得中误差为 ±0。42〞。问：需要再增加多少测回，其中误差可达 ±0。28〞。5、以相同精度测定支导线各转折角L1、L2。。。LN ,观测中误差为 σ。设起始方位角α无误差。求：导线边A-1,1-2，2-3,…(n-1)-B的方位角的中误差。6、设附合水准线路长 SAB=80km ，每公里观测高差的权为 1 。设A、B点高程无误差。求：最弱点平差前后的高程的权。6、设附合水准线路长 SAB=80km ，每公里观测高差的权为 1 。设A、B点高程无误差。求：最弱点平差前后的高程的权。7、对 A 角观测 4 次，每次观测中误差为 ±3〞； 对 B 角观测 9 次，每次观测中误差为 ±4〞。根据公式：今设C=1，则PA=4，PB=9，即：PA：PB=4：9。对吗？为什么？2、独立等精度观测量算术平均值的中误差公式： 3、等精度独立观测两水准点间观测高差的中误差公式： 4、独立等精度观测量算术平均值的权： 5、等精度独立观测两水准点间观测高差的权： 8、图示三角网中，A,B为已知三角点.有观测量